Erklärung Homomorphiesatz?
Hi, könnte mir jemand den Homomorphiesatz erklären? Ich verstehe den Vektorraumhomomorphismus, also das eine Abbildung f : U --> V bei der u und V Verktorräume sind eine lineare Abbildung ist. Ich verstehe jetzt aber nicht warum
dim Kernf + dim Imf = dim U sein soll.
Der Kernf sind doch alle Elemente aus U die in f eingesetzt den 0 Vektor ergeben. Schau ich mir da dann einfach alle Elemente aus U an für die das gilt und bilde mit ihnen eine Basis (also nehme alle Vektoren die linear unabhängig sind) und sage dann die Anzahl dieser Vektoren ist die Dimension des Kernf? Und für die dimf mach ich dann dasselbe nur, dass es dort alle Elemente aus V sind, die man durch einsetzten von Elementen aus U in die Funktion f erhält? Aber wieso sollte dann die dim U rauskommen, wenn man die Dimensionen von Kerf und Imf addiert?
1 Antwort
Der Kernf sind doch alle Elemente aus U die in f eingesetzt den 0 Vektor ergeben. Schau ich mir da dann einfach alle Elemente aus U an für die das gilt und bilde mit ihnen eine Basis (also nehme alle Vektoren die linear unabhängig sind) und sage dann die Anzahl dieser Vektoren ist die Dimension des Kernf?
Ja, genau wie bei jedem anderen Vektorraum auch. Vergiss nämlich nicht, dass Kern(f) ein Unterraum von U ist.
Und für die dimf mach ich dann dasselbe nur, dass es dort alle Elemente aus V sind, die man durch einsetzten von Elementen aus U in die Funktion f erhält?
Jep, denn Im(f) ist ein Unterraum von V.
Aber wieso sollte dann die dim U rauskommen, wenn man die Dimensionen von Kerf und Imf addiert?
Das "wieso" wird eben im Beweis des Satzes geklärt.
dim Kernf + dim Imf = dim U ist ja äquivalent zu U/ Kernf ≅ f(U). Könntest du mir das erklären? Also was diese zweite Aussage nun aussagt?
Das heißt eben, dass f(U) und U/Kern(f) zueinander isomorph sind, i.e. es gibt einen bijektiven Homomorphismus zwischen den beiden Räumen. Aber wenn zwei Räume isomorph sind, haben sie automatisch dieselbe Dimension:
Man kann sich einfach eine Basis des ersten Raumes nehmen, diese von dem Isomorphismus abbilden lassen und erhält dann automatisch eine Basis des zweiten Raumes. Damit haben beide Basen dieselbe Anzahl an Elementen, also sind die Dimensionen der Räume gleich.
Vielen Dank für die Hilfe! dim Kernf + dim Imf = dim U ist ja äquivalent zu U/ Kernf ≅ f(U). Könntest du mir das erklären? Also was diese zweite Aussage nun aussagt? Weil U/ Kernf ist doch der Faktorraum von U nach Kernf. Wieso sollte diese Dimension gleich der Dimension von f(U) sein? Und wie würde man überhaupt auf diese Dimensionen kommen? Das kann man ja nicht so einfach wie wenn man es so wie oben formuliert.