Kern einer Matrix A?
Ich weiß, dass man den Kern einer Matrix berechnet, in dem man das homogene Gleichungssystem A x = 0 löst.
Aber ich verstehe noch nicht ganz was der Kern ist. Kann mir jemand erklären wie man sich den vorstellen kann und welche Besonderheiten es da vielleicht bei bestimmten Matrizen gibt? Also z.B. wenn Spaltenvektoren linear abhängig sind oder wenn es die Nullmatrix ist.
Liebe Grüße :)
1 Antwort
Gut, also sei A mal eine nxm-Matrix mit Einträgen in R. Hier ist es sinnvoll, sich die Matrix als Lineare Abbildung von R^m nach R^n aufzufassen.
Mal angenommen, du bildest einen R^3 auf einen R^2 ab. Der einzige Weg, wie das möglich ist besteht darin, dass mehrere Vektoren, welche verschieden sind, auf den gleichen Vektor abgebildet werden. Stell dir das wie eine Stauchung eines Würfels auf eine Ebene vor.
Der Kern ist dann die Menge aller Vektoren, welche auf diese Weise auf den Nullvektor abgebildet werden. Noch allgemeiner: Wird ein Vektor v auf f(v) abgebildet, so landen alle Vektoren v+w, für w aus Kern(f), auf dem Vektor f(v). Diese Vektoren werden also alle so gestaucht, dass sie auf dem gleichen Vektor landen.
Erste Besonderheit ist, dass der Kern wieder ein Untervektorraum ist. Das ergibt sich recht leicht, denn v in Kern(f) und w in Kern(f) -> f(v+w) = f(v)+f(w) = 0+0 = 0. Das ergibt sich aus der Eigenschaft, dass f linear ist (für skalare Multiplikation analog).
Ein wichtiger Zusammenhang ist hier der Dimensionssatz für lineare Abbildungen: Sei f: V -> W. Dann gilt: dim(V) = dim(kern(f)) + dim(Bild(f)). Das zeigt nochmal sehr schön, was ich mit der Stauchung beschrieben habe. Wenn der Bildraum die gleiche Dimension wie der Raum V hat, dann beinhaltet der Kern nur den Nullvektor. Nur, wenn der Bildraum eine kleinere Dimension hat, dann findet eine Stauchung statt, also hat der Kern eine Dimension > 0.
Ein wichtiger Zusammenhang für Matrizen lautet dann Rang(A) = dim(Bild(A)). Der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen und der linear unabhängigen Spalten in A (beide Zahlen sind immer identisch). Daraus ergibt sich der Zusammenhang: Sind min. zwei Spalten oder min. zwei Zeilen in A linear abhängig, so gilt: dim(kern(A)) > 0.
Noch eine letzte wichtige Bemerkung: Gilt dim(Bild(A)) = n, so ist die durch A definierte Abbildung surjektiv. Gilt dim(Kern(A)) = 0, so ist sie injektiv.
Das war jetzt alles doch etwas abstrakt. Hoffe das hilft dir trotzdem etwas. LG
Kurz gesagt ist das Bild der Raum, welcher durch die Abbildung aufgespannt wird.
Danke dir :). Ich versuche mal die Zusammenhänge zu verstehen. Muss mir erstmal nochmal anschauen was genau ein Bild ist.