Untervektorraum?

Moin
Ich habe mal kurz 2 Fragen zu Untervektorräumen:
1.) Die Gerade g: x = (0, 1) + t(1, 1) ist doch kein Untervektorraum des ℝ², weil der Nullvektor nicht Teil der Menge ist. Die Gleichung (0, 0) = (0, 1) + t(1, 1) ist also nicht lösbar. Stimmt das?

2.) Wenn ich jetzt z.B die Menge { x(1, 1) | x ∈ ℝ } habe, gilt ja die erste Bedingung zur Überprüfung eines Untervektorraumes. Der Nullvektor ist also Teil der Menge, da wir für x = 0 den Vektor (0, 0 ) bekommen. Jetzt muss ich diese Menge jedoch noch auf Abgeschlossenheit bezüglich Vektoraddition und skalarer Multiplikation überprüfen, um sagen zu können, ob es sich hier um einen Untervektorraum des ℝ² handelt. Das funktioniert ja quasi in Form eines "Beweises". Wie würde dieser "Beweis" denn aussehen? Ich wüsste jetzt nicht konkret, wie ich zeigen sollte, dass die beiden Kriterien bezüglich der Menge erfüllt sind.

Answer 1

[Willibergi]

1.) Die Gerade g: x = (0, 1) + t(1, 1) ist doch kein Untervektorraum des ℝ², weil der Nullvektor nicht Teil der Menge ist. Die Gleichung (0, 0) = (0, 1) + t(1, 1) ist also nicht lösbar. Stimmt das?

So ist es.

Alle Mengen

$U = \{ \lambda v \mid \lambda \in \R \}$

mit festem v ∈ IR² sind eindimensionale Untervektorräume von IR².

Der Nullvektor ist für λ = 0 enthalten und es bleibt noch Abgeschlossenheit bzgl. Addition und Skalarmultiplikation zu zeigen. Es ist also noch zu zeigen, dass

$a,b \in U \implies a + b \in U$

und

$\alpha \in \R, a \in U \implies \alpha a \in U$

gilt.

Für die Abgeschlossenheit bzgl. Addition wählen wir zwei Vektoren a, b aus U. Diese lassen sich darstellen als

$a = \lambda v, \quad b = \mu v$

mit λ, μ ∈ IR. Es folgt:

$a + b = \lambda v + \mu v = (\lambda + \mu) v \in U$

Analog für die Skalarmultiplikation.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

Answer 2

[DerRoll]

1. ja.
2. Stelle zwei Vektoren als x*(1, 1)^T und y*(1, 1)^T dar und führe eine Addition durch. Läßt sich das Ergebnis als z*(1, 1)^T schreiben? Warum? Die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation zu zeigen ist noch einfacher.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[Butzti]

Okayy, ja das macht auf jeden Fall Sinn. Ich hätte das jetzt vielleicht so probiert:
x(1, 1) + y(1, 1) = xy(1, 1) = (xy, xy). Da x, y ∈ ℝ sind, ist das Skalar xy ebenfalls ∈ ℝ. Da beide Komponenten des Vektors xy sind und x ebenfalls ∈ ℝ ist, ist die Menge bezüglich Vekotraddition abgeschlossen.
Würde das so auch gehen? Also ist das theoretisch auch richtig?

[DerRoll]

@Butzti

Du kannst schon nach dem ersten = aufhören, da der Vektor ja schon in der richtigen Form vorliegt.

[MagicalGrill]

@Butzti

x(1, 1) + y(1, 1) = xy(1, 1) = (xy, xy)

Ist das so? Dann wäre ja

1 * (1,1) + 2 * (1,1) = (1 * 2) * (1,1) = 2 * (1,1)

Oder auch: (1,1) + (2,2) = (2,2)? 😉

[DerRoll]

@MagicalGrill

Mist, da habe ich mal wieder zwischen Tür und Angel kommentiert :-(

[Butzti]

@MagicalGrill

Oh ja sry, hab's grad eben selber gemerkt. Da sollte natürlich (x+y) stehen

[MeRoXas]

@Butzti

Nicht ganz. Die Idee der Vorgehensweise ist aber schon mal nicht verkehrt.

In ℝ² gilt ja das Distributivgesetz, d.h. du kannst hier (1,1) ausklammern. Mach das mal und argumentiere dann ähnlich wie in deinem Erstversuch.