Beweis Multiplikation von Restklassen ist abgeschlossen?
Guten Tag liebe Community, ich stehe leider auf dem Schlauch bei diesem Beweis. Warum ist k und l kein Element der Menge der Vielfachen von m (mZ)? Wenn eine Primzahl p das Produkt k*l teilt, dann folgt daraus, das die Primzahl auch k oder l teilen muss. Ich stehe jetzt mit meinem Beispiel auf dem Schlauch. Ich habe für p=5, k=5 und l=1 gewählt. Die Primzahl 5 teilt 5*1 und 5 teilt auch 5 oder 5 teilt 1. Ich verstehe jetzt mit meinem Beispiel nicht, warum k und k*l kein Element der Menge der Vielfachmenge von m sein soll. Die Menge der Vielfachen von 5 hat doch die 5 als Element?
2 Antworten
Du liest die Aussage falsch:
Wenn k und l beides keine Vielfachen von m sind, dann ist auch k * l kein Vielfaches von m.
In deinem Beispiel ist schon die Voraussetzung nicht erfüllt, weil k ein Vielfaches von 5 ist.
Es geht nicht darum, ob k und l Vielfache von m sind, sondern darum, ob k und l Elemente aus mZ sind.
Wo genau siehst du da einen Unterschied?
Naja... du sagtest
Wenn k und l beides keine Vielfachen von m sind, dann ist auch k * l kein Vielfaches von m.
Aber k und l dürfen Vielfache sein, da die Null auch eine Restklasse ist.
Alles was ich sage ist doch, dass die Bedingung dafür, dass die Multiplikation in (ℤ/mℤ)* abgeschlossen ist, wie folgt lautet:
Wenn k und l keine Vielfachen von m sind, dann ist k * l kein Vielfaches von m.
Ich behaupte nicht, dass k und l unter keinen Umständen Vielfache von m sein dürfen. Aber wenn sie es nicht sind, dann ist es auch k * l nicht.
Hättest du ein Beispiel, wo das bei beiden Bedingungen zutrifft?
Ein Beispiel wofür? Z.B. 6 und 2 sind keine Vielfachen von 5. Damit ist auch 6 * 2 kein Vielfaches von 5.
Diese Schlussfolgerung ist nur möglich, weil 5 eine Primzahl ist. Z.B. sind 6 und 2 beides auch keine Vielfachen von 4, aber 6 * 2 ist durchaus ein Vielfaches von 4.
Achso danke. Aber ich verstehe noch nicht, was die beiden Aussagen damit zutun haben, dass m eine Primzahl sein muss, damit es abgeschlossen in der Multiplikation ist.
Das steht da doch: Die Abgeschlossenheit ist äquivalent zu:
Wenn k und l keine Vielfachen von m sind, dann ist k * l kein Vielfaches von m.
Und diese Bedingung ist äquivalent zur Bedingung dafür, dass m eine Primzahl ist (was daran liegt, dass k genau dann ein Vielfaches von m ist, wenn m | k gilt).
Welchen der beiden Schritte verstehst du nicht?
Du hast Da etwas falsch verstanden.
Du hast k=5, l=1 und m=5 gewählt. Zuerst bringen wir k und l auf ihre Restklassen. Wir erinnern uns, dass es für m=5 genau fünf Restklassen gibt, nämlich [0], [1], [2], [3], [4].
- 5≡0 (mod 5)
- 1≡1 (mod 5)
k ist also in der Restklasse [0], l in [1].
Die Restklassen können auch so beschrieben werden:
ℤ/5ℤ={0, 1, 2, 3, 4}
Nun schauen wir uns nochmal k und l an: k=0 und l=1, also sind beide Elemente aus ℤ/5ℤ.
Wenn wir uns den Beweis anschauen, sehen wir, dass die Abgeschlossenheit genau dann gilt, wenn für k und l
k∉ℤ/mℤ und l∉ℤ/mℤ gilt, dass dann auch
k*l∉ℤ/mℤ gelten muss.
Es ist denn die Voraussetzung für dein Beispiel erfüllt? k ist schließlich ein Element aus ℤ/5ℤ und l auch. Die Voraussetzung ist nicht erfüllt, also ist k*l∉ℤ/5ℤ genauso wahr wie k*l∈ℤ/5ℤ (siehe Wahrheitstafel Implikation).
Du kannst also an Deinem Beispiel nicht erkennen, ob laut dem gezeigten Beweis die Abgeschlossenheit für k=5 (bzw. k=0), l=1 und m=5 gilt, da man es nur eindeutig mit dem Beweis prüfen kann, wenn k und l keine Elemente aus ℤ/5ℤ sind.
Ich hoffe, ich konnte helfen :)
Edit: Habe etwas falsch verstanden. Emphele Antworte von MagicallGrill.
Wenn wir uns den Beweis anschauen, sehen wir, dass die Abgeschlossenheit genau dann gilt, wenn für k und l
k∉ℤ/mℤ und l∉ℤ/mℤ gilt, dass dann auch
k*l∉ℤ/mℤ gelten muss.
Das ist nicht, was da steht. Du verwechselst hier den Restklassenring ℤ/mℤ mit dem Ideal mℤ.
Wo ist der Unterschied? Mir wurde das eine als verkürzte Schreibweise von meinem erklärt.
Die übliche Kurzschreibweise für ℤ/mℤ ist ℤ_m (mit m im Index). mℤ ist das von m erzeugte Ideal von ℤ. Oder anders ausgedrückt:
mℤ := { mz | z ∈ ℤ }.
Oder eben umgangssprachlich: mℤ besteht aus den ganzzahligen Vielfachen von m.
Die ganze Schreibweise ℤ/mℤ ergibt ja gerade nur Sinn, weil mℤ ein Ideal von ℤ ist.
Aber zum Restklassenring gehört doch auch die Null.
Es geht nicht darum, ob k und l Vielfache von m sind, sondern darum, ob k und l Elemente aus mZ sind.