Beweis zu Primzahl teilt ab, also auch a oder b
Guten Abend, ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Zeigen Sie: Es sei p Element der natürlichen Zahlen dann gilt p|ab => (p|a v p|b) genau dann, wenn p eine Primzahl ist!
Mir fehlt der Ansatz zum Lösen dieser Aufgabe. Bin für jede Antwort dankbar!
2 Antworten
Es gelte: p|ab . Da p eine Primzahl ist gilt ggT(p , a)=1 oder ggT(p , a) = p . Dies folgt unmittelbar aus der Def. der Primzahl. Falls ggT(p , a) = p folgt ebenfalls mit Def. der Primzahl p | a . Es gelte also ggT(p , a) = 1 . In diesem Falle folgt aus dem Verfahren des Euklidschen Algorithmus zur Bestimmung des ggT : Es gibt ganze Zahlen u und v mit ua + vp = 1 folglich uab +vpb = b. Wegen p|ab gibt es eine ganze Zahl k mit ab = kp und folglich ukp + vpb = b ; (uk+vb)p = b also p | b .
Die Rückrichtung muss zunächst einmal präzise formuliert werden. Denn so gilt sie jedenfalls nicht (Beispiel: p=6 ; a=6; b=6). Man müsste die Rückrichtung also so formulieren: Wenn für eine natürliche Zahl p für alle ganzen (oder auch natürlichen) Zahlen a und b aus p|ab folgt : p|a oder p|b dann ist p eine Primzahl. Das ist aber fast trivial, denn wäre p keine Primzahl also p=uv für 1< u, v < p so wähle man a=u und b=v und damit kann weder p|a noch p|b gelten.
Übrigens trifft der Kommentar von "notizhelge" voll zu. Der Beweis von "guinan" ist problematisch wg. der Verwendung des Satzes über die eindeutige Primfaktorzerlegung.
Zerlege a und b ebenfalls in Primfaktoren (Hauptsatz)
a= p1 mal p2 mal p3 ....
b= p11 mal p12 mal p13....
Dann ist p entweder = p1 oder p2 oder p3 oder.... oder p11 oder p12 oder p13 oder....
Dass das nicht geht, wenn p keine Primzahl ist, zeige ich die an einem Beispiel:
P=6
a= 10
b= 9
p teil a mal b, weil 6 teilt 90
a= 2 mal 5
b= 3 mal 3
p= 2 mal 3
Der eine Primfaktor ist in a und der andere in b
Das ist Uni-Mathematik. Aber das Lemma von Euklid ist mir bisher neu!
IM Link stehts dann auch noch mal ohne dass du den Hauptsatz verwenden musst. Danke Notizehelge
Dieser Kommentar trifft voll zu; siehe meine Antwort. Man darf eigentlich den Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung nicht verwenden.
Wobei allerdings die Frage ist, ob er den Satz von der Primfaktorzerlegung überhaupt verwenden darf. Denn was er da beweisen soll, ist das Lemma von Euklid, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Euklid, und dieses wird verwendet, um den Satz von der Primfaktorzerlegung überhaupt erst zu beweisen.
Im Grunde wäre das dann zirkulär, wenn man das so macht. Man müsste halt den Kontext wissen, in dem die Aufgabe gestellt wurde, ob das Schulmathematik ist oder Uni-Mathematik.
(Gleichwohl ein DH von mir.)