Könnt Ihr mir den folgenden Beweis lösen?
Sei G=R \ {1}; für x, y ∈ G definieren wir
x∘y := ½·(x + y – xy + 1).
Zeigen Sie dass (G,∘) eine kommutative Gruppe ist.
Geben Sie das neutrale Element e und zu jedem x∈ G das zugehörige inverse Element x' an.
2 Antworten
Nu ja, was macht denn eine Gruppe aus?
Die Menge G muss unter '∘' abgeschlossen sein, d.h.
x, y ∈ G ⇒ x∘y ∈ G.
Man spricht auch von '∘' als innerer zweistelliger Verknüpfung. Ferner müssen die Gruppenaxiome gelten:
- Die Verknüpfung muss assoziativ sein, d.h.
∀ x, y, z ∈ G: x∘(y∘z) = (x∘y)∘z. - Es muss ein neutrales Element e geben, d.h. eines, für das
∀ x ∈ G: e∘x = x∘e = x. - Die Verknüpfung muss auf G invertierbar sein, d.h.
∀ x ∈ G ∃ x' ∈ G: x'∘x = x∘x' = e.
Du musst also zunächst einmal die Assoziativität beweisen, was am aufwändigsten ist:
x∘(y∘z) = ½·(x + ½(y + z – y·z + 1) – x·½(y + z – y·z + 1) + 1
(Klammern auflösen)
= ½·(x + ½y + ½z – ½·yz + ½ – ½·xy – ½·xz + ½·xyz – ½x + 1)
(x – ½x = ½x)
= ½·(½x + ½y + ½z – ½·yz + ½ – ½·xy – ½·xz + ½xyz + 1)
(½z = z – ½z)
= ½·(½x + ½y + z – ½·yz + ½ – ½·xy – ½·xz + ½xyz – ½z + 1)
(Summanden –½xy und –½yz vertauschen und +½ vorziehen)
= ½·(½x + ½y – ½·xy + ½ + z – ½·xz – ½·yz + ½xyz – ½z + 1)
(neu zusammenfassen)
= ½·(½(x + y – x·y + 1) + z – ½·(x + y – x·y + 1)·z + 1)
= (x∘y)∘z QED
Der Beweis der übrigen Gruppenaxiome ist mit dem Rest der Aufgabenstellung identisch. Du musst Gleichungen umstellen:
e∘x = ½·(e + x – e·x + 1) = x
⇔ e + x – e·x + 1 = 2x
⇔ e – e·x + 1 = x
⇔ e·(1 – x) = x – 1
⇔ e = (x – 1)/(1 – x) = –1
Nun muss noch für jedes x ein x' mit
x'∘x = ½·(x' + x – x'·x + 1) = e = –1
gefunden werden:
⇔ x' + x – x'·x + 1 = –2
⇔ x' + x – x'·x = –3
⇔ x'·(1 – x) = –3 – x
⇔ x' = (3 + x)/(x – 1).
Dies ist auch immer definiert, da x=1 bereits ausgeschlossen wurde.
Dass die Gruppe abelsch (=kommutativ) ist, ergibt sich aus der Kommutativität der Addition und der gewöhnlichen Multiplikation.
Man löst keinen Beweis.
Man kann aber eine Behauptung zu beweisen versuchen.