Zeigen dass Monoid eine Gruppe ist?
Hallo, es geht um folgende Aufgabe:
ich habe ein beliebiges Monoid (Halbgruppe mit einem neutralen Element) und gegeben, dass für jedes y ∈ M ein x ∈ M mit x ◦ y = e existiert.
Wie kann ich jetzt nur mit Assoziativität und dem neutralen Element zeigen, dass auch y ◦ x = e gilt?
Vielen Dank schonmal!
3 Antworten
Wenn es zu jedem y ein x gibt mit x*y = e, gibt es auch zu diesem x ein z mit z*x=e.
y*x =e*y*x = (z*x)*y*x = z*(x*y)*x = z*e*x = z*x = e.
Das hast du doch gegeben?
gegeben, dass für jedes y ∈ M ein x ∈ M mit x ◦ y = e existiert.
Es ist spät, vielleicht habe ich deine Frage auch falsch gelesen. Es tut mir leid, falls das so ist.
Wenn du weißt, dasss y das Inveese von x ist, dann nehmen wir an, y' sei das Inverse von y.
Es gilt also:
x*y=e
x*y*y'=y'
x*e=y'
x=y'
Also ist x das Inverse von y
Das heißt es gilt y*x=e
Das gilt aber in jeder Gruppe. Du musst nicht zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt. Durch die Eigenschaft der Halbgruppe mit der Existenz des neutralen Elements und des Inversen, bist du schon fertig.
Wenn so ein x existiert, dann gibt es doch nichts mehr zu zeigen.
oh, ich hab in meiner Frage x und y vertauscht. meine Frage war, wie man y ◦ x = e zeigen kann
aber für eine Gruppe muss ich doch zeigen, dass nicht nur x ◦ y = e gilt sondern auch y ◦ x = e (sorry, hatte ich in der Frage vertauscht)