Ist eine Gruppe auch immer eine Halbgruppe?
Wenn ich in der Algebra eine Gruppe (mit innerer Verknüpfung) habe, die alle Gruppenaxiome erfüllt, ist diese Gruppe dann auch automatisch immer eine Halbgruppe?
Eine abelsche Gruppe ist ja beispielsweise auch noch ein Gruppe. Sowie die abelsche Gruppe dann aber eine besondere Gruppe ist, ist doch eigentlich auch die Gruppe eine besondere Halbgruppe, oder täusche ich mich hier?
Es ist eine Halbgruppe doch so definiert, dass die anderen Gruppenaxiome (Existenz eines neutralen und inverse Elementes) nicht erfüllt sein müssen, aber durchaus erfüllt sein dürfen?
Kann ich dann davon ausgehen, dass bei einem Ring (R,+,*) mit dem Ringaxiom, dass (R,*) eine Halbgruppe sein muss, R auch dann ein Ring ist, wenn (R,*) eine Gruppe oder sogar eine abelsche Gruppe ist?
1 Antwort
Ja eine Gruppe ist auch eine Halbgruppe. Denn wie bereits von dir richtig festgestellt, besitzt eine Gruppe natürlich auch eine innere Verknüpfung und erfüllt das Assoziativgesetz. Daher ist sie eine Halbgruppe.
Bei einem Ring ist (R,*) eine Halbgruppe. Falls nun (R,*) eine Gruppe wäre, dann natürlich auch eine Halbgruppe wegen obigem. Aber (R,*) ist nie eine Gruppe (sofern R ungleich 0), da 0 dann kein mult. Inverses besitzt.