Die Gravitationskonstante ist eine Naturkonstante, deren Wert nur experimentell bestimmt werden kann. Der beste bekannte Wert ist G=6.6743⋅10¯¹¹ N⋅m²/kg². Sie taucht unter anderem im Newtonschen Gravitationsgesetz auf, F=GMm/r².
Die Fallbeschleuigung auf der Erdoberfläche ist g≈9.81 N/kg. Hätte die Erde exakte Kugelsymmetrie, dann könnte man g aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz ausrechnen, indem wir F=mg=GMm/r² ansetzen und g=GM/r² bekommen.
Aber das entspricht nicht wirklich der exakten, meßbaren Fallbeschleunigung, die von Ort zu Ort auf der Erde um bis zu 1% schwanken kann. Die Gründe dafür sind vielfältig
- Zunächst einmal ist die Erde keine Kugel, sondern ein oblates Rotationsellipsoid. Das bedeutet, daß man am Äquator weiter weg vom Erdmittelpunkt ist (Rₑ=6378.14 km) ist als am Pol (Rₚ=6356.75 km) und daher auch etwas weniger Gravitation spürt.
- Dazu kommt die Erddrehung, die eine Zentripetalkraft erzeugt, die der Gravitation entgegengerichtet ist. Die hängt vom Abstand zur Erdachse ab, und der ist am Äquator natürlich viel größer als am Pol.
- Diese beiden Effekte hängen nur von der geographischen Breite ϑ ab.
- Außerdem gibt es Berge; am Berg ist man weiter vom Erdmittelpunkt auch auch von der Erdachse entfernt als auf Meeresspiegel. Wir müssen also auch noch die Seehöhe h berücksichtigen.
Mit ein bißchen Schulmathematik über Ellipsen und Trigonometrie kann man diese Effekte berücksichtigen. Die Formel für den Abstand zum Erdmittelpunkt lautet dann
und dazu muß gegebenenfalls noch die Seehöhe h addiert werden. Für die Fallbeschleunigung erhält man dann
wobei der erste Term einfach aus dem Gravitationsgesetz kommt und der zweite die Zentripetalkorrektur ist (τ=86164 s ist die Länge eines siderischen Tages).
Mit dieser Formel kannst Du Dir also ausrechnen, wie groß die Fallbeschleunigung an Deinem Wohnort ist. Allerdings sind die Resultate immer noch nicht korrekt, weil wir die inhomogene Massenverteilung der Erde außer Acht gelassen haben — weil das Gestein nicht überall gleich dicht ist, kommen noch Fehler in der Größenordnung von 1 bis 2‰ dazu, und die gemessene Richtung der Gravitation muß auch nicht genau zum Erdmittelpunkt zeigen. Diese Fehler lassen sich leider nicht mit einer einfachen Formel beheben.
Beispielsweise liegt Bogotà bei äquatornahen ϑ=−4° und h=2640 m Seehöhe; daraus folgt eine überdurchschnittlich kleine Schwerebeschleunigung von 9.76 N/kg. Andererseits liegt Reykjavík weit im arktischen Bereich (ϑ=64°) und auf Meereshöhe, aus beidem folgt ein erhöhter Wert für g=9.85 N/kg. Leider finde ich im Internet keine Seite, wo ich die echten Schwerebeschleunigungen für diese Orte nachschlagen könnte; vermutlich sind sie in Wahrheit etwas weniger extrem.
define g(x,h) {if (x==pi/2) x=x-10^-10; return gg*mm/(rr(x)+h)^2-(2*pi*c(x)/tt)^2*(rr(x)+h)}
define rr(x) {return sqrt(rpol^2 + (rpol^2*(req^2-rpol^2))/((req*t(x))^2+rpol^2))}
tt=86164
rpol=6356752.3
req=6378137
gg=6.674*10^-11
mm=5.972*10^24
g(4.711/180*pi,2460)
9.757
g(64.147/180*pi,0)
9.845