[Mathematisches Beweisen] Ob mein Widerspruchsbeweis richtig ist?

Moin,

ich möchte eine Aussage durch Widerspruch beweisen und hab mir dazu eine Lösung ausgedacht. Ich hab am Ende des Textes meine generellen Fragen zum Beweisen durch Widerspruch notiert. Jetzt folgt noch die Aussage und meine Lösung:

Satz: Wenn n + m eine ungerade ganze Zahl ist, dann ist entweder n oder m ungerade.

Lösung:

Angenommen n + m sei eine gerade ganze Zahl und n oder m ungerade. Dann gibt es eine Zahl k, für die gilt (k = n + m) -> gerade . Nehmen wir an, dass die Zahl n gerade und m ungerade ist,

Dann lautet k: k = 2x + (2y + 1). Damit wäre k immer ungerade. Der Widerspruch zum ersten Satzteil.

Meine Fragen sind nun:

  • Hab ich die Aussage korrekt durch Widerspruch gelöst?

Frage + Äquivalenz:

P = Wenn n + m eine ungerade ganze Zahl ist
Q = dann ist entweder n oder m ungerade.

p -> q äquivalent zu
-p oder q äquivalent zu
p und -q.

Widerspruchsbeweise bestehen ja daraus, dass ich die dritte Form nehme. Also p und -q. In diesem Fall wäre dies (für mich) schwer gewesen, da es darum ging welcher von beiden ungerade/gerade ist. Deshalb hab ich die zweite Form genommen. Wäre dies immernoch ein Widerspruchsbeweis? Die sind zwar logisch äquivalent, aber würde das auch "in der Prüfung" gewertet werden?

Meine letzte Frage:

Wenn ich z.b. die dritte Form nehme, müsste ich dann aus q "dann ist entweder n oder m ungerade" zu "dann sind n und m gerade" machen? Ich frage, da man in der Aussagenlogik, bei den Moorschen Gesetzen auch das und zum oder und umgekehrt verwandelt.

Danke schonmal im Voraus!

Schule, Mathe, Informatik, Logik, Widerspruch, mengenlehre, Aussagenlogik, Beweis, Widerspruchsbeweis, Mooresches Gesetz
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Strukturwissenschaften / Formalwissenschaften?

Hallo

Meine Frage ist jetzt ein bisschen kompliziert, deswegen erkläre ich sie euch kurz.

Ich interessiere mich für Mathematik. Jetzt wo ich mich viel mit Mathematik auseinandersetze habe ich mir die Frage gestellt, ob es möglich ist, die ganze Mathematik in einer grossen Theorie zusammenzufassen. Ich bin auf die Mengenlehre gestossen insbesondere auf die Zermeto-Fraenkel-Mengenlehre (ich hoffe ich habe das richtig geschrieben). Ich habe gehört, dass die ganze Mathematik auf ihr aufbaut. Man kann alle mathematischen Gebiete, Aussagen, Beweise, Sätze etc auf den Grundbausteinen (Axiome) der Mengenlehre aufbauen. So weit so gut.

Da hörte ich, dass die Mengenlehre eine von 4 Teildisziplinen der mathematischen Logik ist. Also heisst das, dass die ganze Mathematik auf der mathematischen Logik aufbaut. Ich habe aber weiter gelesen, dass die mathematische Logik auf der Logik aufbaut. So bin ich zum Schluss gekommen, dass man also indirekt die ganze Mathematik auf den Regeln/Grundsätze/Axiome der Logik aufbauen kann.

Doch da gibt es weitere Disziplinen wie z.b. die theoretische Informatik, Rechtswissenschaften oder Sprachwissenschaften. Alle haben eins gemeinsam. Sie untersuchen formale Systeme.

Nun ist meine Frage: Gibt es eine Richtung der Wissenschaft, welche der Grundbaustein für alle Strukturwissenschaften/Formalwissenschaften ist? Ist diese Wissenschaft vielleicht doch die Logik? Oder gibt es keine? Lassen sich alle Strukturwissenschaften/Formalwissenschaften überhaupt unter einem Hut bringen? Wenn euch die Frage zu kompliziert vorkommt, könnt ihr auch das mit den Rechtswissenschaften und Sprachwissenschaften auslassen. Aber ich möchte wissen, ob man die theoretische Informatik, Logik, Mathematik usw. Irgendwie zusammenführen kann.

Ich freue mich auf eure Antworten.

Mathematik, Mathe, Kybernetik, Logik, Theoretische Informatik, mengenlehre, Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Mathematische Logik
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Mengenmodell der Natürlichen Zahlen?

Hallo

Wie ich mitbekommen habe, kann man die Natürlichen Zahlen mit der Mengenlehre beschreiben. Dabei sind die Natürlichen Zahlen Mengen, welche Elemente enthalten.

0 = {}

1 = { {} }

2 = { {} ; { {} } }

3 = { {} ; { {} } ; { {} ; { {} } } }

n + 1 = n geschnitten mit {n}

Also lässt sich jede Menge einer natürlichen Zahl als die Menge aller schon definierten Zahlen bilden. Die Menge der Zahl 1 beinhaltet die Menge der Zahl 0. Die Menge der Zahl 2 beinhaltet die Menge der Zahl 1 und die Menge der Zahl 0. Das einzige was anfangs gegeben ist ist die Menge der Zahl 0, welche die leere Menge ist.

Man sagt, dass die Menge aller Natürlichen Zahlen die kleinste Induktive Menge ist.

Definition einer induktiven Menge:

1. Die Leere Menge ist Element der induktiven Menge.

2. Für jedes Element x der induktiven Menge gibt es ein Nachfolgerelement, welches x geschnitten mit {x} ist.

Es gibt ja verschiedene induktive Mengen und die Schnittmenge aller induktiven Mengen sind die Natürlichen Zahlen.

Somit soll bewiesen sein, dass die Natürlichen Zahlen existieren doch ich habe eine Frage.

Mir ist bewusst, dass die Schnittmenge aller induktiven Mengen gleich viele Elemente enthält wie die Natürlichen Zahlen. Also unendlich Elemente. Und ich weiss, dass die Natürlichen Zahlen ja die Mächtigkeit jedes einzelnen Elements der Schnittmenge aller induktiven Mengen bezeichnen. Und mir ist auch bewusst, dass jede natürliche Zahl n welche kleiner als eine andere Natürliche Zahl m ist, eine Teilmenge von dieser ist. Z.b.

1 = { {} }

2 = { {} ; { {} } }

1 ist Element von 2

Und so entsteht eine Ordnungsstruktur

Aber wieso soll die Schnittmenge aller induktiven Mengen die Menge der Natürlichen Zahlen sein? Ich kann mir das immer noch nivht erklären. Ja einige Eigenschaften stimmen überein aber das muss ja lange nicht heissen, dass diese Zwei Mengen identisch sind?

Kann mir das bitte jemand erklären?

Danke schon im Vorraus.

Schule, Mathematik, Mathe, Logik, menge, Natürliche Zahlen, mengenlehre, Zahlenmengen, Mathematische Logik
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Kann mir jemand einige (Definitions-)Fragen über Logik beantworten?

Ich studiere Philosophie und habe einige Fragen zu den Grundbegriffen der Logik, die mir leider bis jetzt noch niemand verständlich beantworten konnte.

Bei den Eigenschaften von Argumenten haben wir eine Hierarchie gebildet (von denen mit wenigen Voraussetzungen zu denen mit vielen Voraussetzungen), die wie folgt lautet:

Gültigkeit - deduktive Gültigkeit - logische Gültigkeit - Schlüssigkeit

Bei der Unterscheidung von deduktiver zu logischer Gültigkeit tue ich mich jedoch noch etwas schwer. Deduktive Gültigkeit haben wir so definiert, dass die Konklusion aus den Prämissen folgen muss und logische Gültigkeit (/formale Gültigkeit) folgendermaßen: Ein Argument ist dann logisch gültig, wenn es allein aufgrund der Form gültig ist, d.h. wenn sich allein aus den in den Prämissen und der Konklusion vorkommenden logischen Ausdrücken (Operatoren/Strukturwörtern) ergibt, dass alle strukturgleichen Argumente mit wahren Prämissen auch eine wahre Konklusion haben, unabhängig von den jeweiligen Einsetzungsinstanzen.

Ich finde das klingt beides per Definition sehr ähnlich. Kann mir jemand vielleicht ein konkretes Beispiel nennen bei dem der Unterschied deutlich wird?

Ich dachte jetzt bei deduktiver Gültigkeit an so etwas wie das klassische Beispiel, dass aus "Er ist ein Junggeselle" folgt "Er ist ein unverheirateter Mann". Da das einfach per Definition so sein muss und daher (im Gegensatz zu reiner Gültigkeit, die ja z.B. auch induktiv gültig sein kann), nicht nur wahrscheinlich so ist, sondern so sein muss und daher keiner empirischen Überprüfung bedarf. D.h. nur die Bedeutung der Worte ist ausschlaggebend, nicht aber was tatsächlich der Fall ist.

Logische Gültigkeit habe ich so verstanden, dass noch nicht mal mehr die Bedeutung der Worte eine Rolle spielt, da allein die Form es schon richtig macht. Z.B. "aus 'pfrrrrgrrr' folgt log. gültig 'nicht nicht pfrrrrgrrr'". Dabei bedeutet "pfrrrrgrrr" gar nichts.

Liege ich damit richtig?

Das entspricht doch genau der Definition von analytischen und logisch determinierten Argumenten. Eine analytisches Argument haben wir so definiert, dass die Wahrheit allein von der Bedeutung der Wörter abhängt und es daher keiner empirischen Untersuchung bedarf. Logisch determiniert haben wir so definiert, dass der Wahrheitswert gleich bleibt egal welche Ausdrücke man einsetzt und man daher die Wörter nicht verstehen muss, um zu erkennen ob es gültig oder ungültig ist.

Kann man folglich "deduktiv" mit "analytisch" und "logisch gültig" mit "logisch determiniert" gleichsetzen?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

Studium, Mathematik, Definition, Logik, Philosophie, studieren, mengenlehre
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Mengen skizzieren, versch. Beispiele?

Hallöchen :^)

wir haben die Aufgabe bekommen Mengen zu zeichnen, nur haben wir das in der Schule nie gemacht. Ich hatte auch durch die ständige Abweseneheit unserer Lehrer große Bildungslücken in Mathe, weshalb meine Frage viell. blöd erscheint.

Ich hab ein paar Vermutungen aufgestelllt, verbessert mich bitte, falls ich es falsch hab:

Also lautet eine Aufgabe z.B. M1 = {x = € R x R | y = -3} wie gehe ich hier vor? muss ich nur einen Punkt einzeichnen? (= Punktmenge??) Ich möchte ja nicht, dass ihr meine Hausis macht, sondern nur dass mir jemand erklärt wie das funktionert, damit ich es selbst machen kann.

bei Aufgaben wie z.B. M2 = { x = RxR | -5 < x < 5} muss ich ja nichts machen, außer die Menge zwischen den beiden Intervallen (so nennt man das, oder?) zu schraffieren. Glaube ich.

und bei z.B. M3 = {x = RxR | y < x² +1} müsste ich doch für x = 1,2,3,4... einsetzen damit ich 2,5,10,17... rauskrieg und dann eine Gerade ziehen und dann alles oberhalb davon als Menge markieren, da ja y kleiner-gleich ist?

Ok, das waren jetzt aus der Luft gegriffene Beispielaufgaben, die aber im Prinzip denen die ich vor mir habe, ähneln. Jetzt hier ein paar von den "schweren", bei denen ich eig. garnicht weiß wie ich vorgehen soll (Originalaufgaben):

M4 = {x = RxR | y/x = -1 und x ungleich 0} muss alles etwa -1 ergeben, wie -2/2 oder -3/3? und was dann? was markiere ich? M5 = {x = RxR | x/y > 0 und y ungleich 0} ich meine das Prinzip ist das gleiche wie bei M4

Liebe Grüße und Danke im Voraus,

Bishie

Mathematik, Hausaufgaben, menge, skizzieren, Student, Universität, mengenlehre
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