Quotientenkriterium/ Quotientengrenzwertkriterium Analysis?
Moin,
kann mir bitte jemand sagen, wie man dieses q und das m0 findet. Also der erste Schritt ist ja klar, dass man a n+1/ a n dividiert und dann bekommt man ein Ergebnis raus. Aber dann muss man ja auch noch dieses n heraus finden und das q für das die Reihe konvergiert. Kann mir jemand bitte das Vorgehen erläutern ich blicke da nicht durch und das ist wirklich wirklich für meine Klausur. Woher kommt dieses 2•x-1 usw.
2 Antworten
Sorry, aber ich verstehe nicht was du da nicht verstehst. Du bildest den Quotienten, du schaust ob es ein n_0 gibt für das der Quotient immer kleiner als eine Zahl 0 < q < 1 bleibt (Das q ist wichtig da es NICHT reicht dass der Quotient selbst < 1 ist, wenn er nämlich gegen 1 konvergiert kann das Kriterium nicht angewendet werden).
Genau das wird in dem Beispiel gemacht. Der Quotient wird gebildet. Der Einfachkeit der folgenden Rechnung halber (und lediglich deswegen!) wird q = 1/2 < 1 gesetzt. Dann sucht man für jedes mögliche x ein (von x abhängiges) n_0, für das der Quotient < 1/2 bleibt. Damit ist gezeigt das die Exponentialreihe für jedes x € R konvergent ist. Du denkst hier möglicherweise viel zu kompliziert.
Entnimmt man das irgendwo her oder leitet man das her.
Das erhältst du indem du dir den Nenner genau anschaust und zusieht das möglichst viel weg fällt.
Und sucht man nicht immer das größte q, sodass gilt q<1?
Das macht man bei der Bestimmung des Konvergenzradius für nicht überall konvergente Potenzreihen. Hier bietet sich aber das 1/2 eben an, da ja bei geeigneter Wahl von n0 alles andere im Nenner weg fällt.
Woher kommt dieses 2•x-1
Das kommt aus der Intuition...
Man weiss ja, wo man hin möchte, ein q<1, so dass alle Quotienten ab einem gewissen n kleiner als q sind.
Man wählt hier - willkürlich - q = 1/2 und sucht dann das n, für das zu ersten Mal gilt q <= 1/2. Dazu löst man einfach die Gleichung n/(x+1) = 1/2.
danke schonmal für die Antwort. Also klar zuerst wird der Quotient gebildet. Aber wie kommt man denn auf dieses 2•x -1. Entnimmt man das irgendwo her oder leitet man das her. Und sucht man nicht immer das größte q, sodass gilt q<1?
lg