Konvergenz Potenzreihe?

Hallo zusammen, ich verstehe nicht wie man bei der Randbetrachtung auf den rot markierten Teil kommt. Wieso nehme ich den Betrag der Potenzreihe und wieso =1?
Vielen Dank

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[aperfect10]

Eine komplexe Reihe divergiert, wenn die Folge der Beträge ihrer Summanden keine Nullfolge ist.

In den vorherigen Betrachtungen wurde festgestellt dass die vorliegende Potenzreihe für komplexe z mit

$\begin{cases}\lvert z + 2 - 3i \rvert < \frac{1}{\sqrt{2}} & \text{konvergiert}\\\lvert z + 2 - 3i \rvert > \frac{1}{\sqrt{2}} & \text{divergiert.} \end{cases}$ Wie ist das Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises? Mit anderen Worten: Konvergiert oder divergiert die Reihe für komplexe z mit

$\lvert z + 2 - 3i \rvert = \frac{1}{\sqrt{2}}\,?$ Prüfen wir also, ob

$\lvert (1+i)(z+2-3i)\rvert^n = \lvert 1+i\rvert^n \lvert z+2-3i\rvert^n$

unter dieser Bedingung eine Nullfolge bildet. Dazu stellen wir z.B. auf Polarkoodinaten um:

$\lvert (1+i)(z+2-3i)\rvert^n = \lvert (1+i)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\rvert^n = \lvert e^{\frac{i\pi}{4}}\rvert^n = 1^n = 1$ Und sehen dass die Summanden für alle n auf dem Einheitskreis liegen, also den Betrag 1 haben.

Also ist ihre Folge keine Nullfolge, somit divergiert die Potenzreihe.