Ausklammern bei einer Wurzel (für Grenzwert)?

Hallo, Folgendes:

Wie ziehe ich beim Zähler das n^4 aus der Wurzel?

Einfach n^4 * (Wurzel(4 + 14 / n^2 + 16 / n^4) + 2 /n^2 + 4 / n^4)? Aber nein, das ist ja offensichtlich falsch, deshalb meine Frage an euch: Wie klammert man richtig bei einer Wurzel aus?

Answer 1

[Rhenane]

Zuerst klammerst Du unter der Wurzel n^4 aus. Dann ziehst Du daraus die Wurzel (=n²) und lässt den Rest unter der Wurzel stehen.

Dann klammerst Du aus dem gesamten Nenner n² aus und kürzt dieses mit dem Zähler. Dann kannst Du leicht den Grenzwert bestimmen:

nur Nenner:

$\sqrt{\left(4n^4+14n^2+16\right)}+2n^2+4\ =\ \sqrt{\left(n^4\left(4+\frac{14}{n^2}+\frac{16}{n^4}\right)\right)}+2n^2+4$ $=n^2\sqrt{\left(4+\frac{14}{n^2}+\frac{16}{n^4}\right)}+2n^2+4\ =\ n^2\left(\sqrt{\left(4+\frac{14}{n^2}+\frac{16}{n^4}\right)}+2+\frac{4}{n^2}\right)$ Jetzt kannst Du vorne das n² mit dem im Zähler kürzen und bei der Grenzwertbetrachtung für n->unendlich bleibt im Nenner Wurzel(4)+2 übrig; alle Brüche in diesem Nenner laufen gegen Null.

Answer 2

[Wechselfreund]

Einfach n^4 Vermutlich meinst du den Nenner?

Nein

Wurzel aus n^4 ist n², das wird gekürzt.

Rechts wurde schon der Grenzwert gebildet und demnach alles mit n im Nenner vernachlässigt.

Answer 3

[evtldocha]

Tipp:

$\sqrt{n^4\cdot b}=\sqrt{\left(n^2\right)^2\cdot b}=\sqrt{\left(n^2\right)^2}\cdot\sqrt{b}=n^2\cdot\sqrt{b}$

Nur deswegen kannst Du dann mit dem n² im Zähler kürzen.

Nachtrag nach Kommentar:

$\frac{-2n^2}{n^2\cdot\sqrt{4+\frac{14}{n^2}+\frac{16}{n^4}}\ +2n^2+4}=\frac{-2n^2}{n^2\cdot\left(\sqrt{4+\frac{14}{n^2}+\frac{16}{n^4}}\ +2+\frac{4}{n^2}\right)}$

Jetzt kannst Du n² kürzen und alle was im Nenner eine Potenz von n hat, geht im Grenzübergang n → ∞ gegen 0 und es bleibt das Ergebnis, wie in der Frage gezteigt.

Comments

[bayernmuellchen]

aber bei mir steht ja kein mal zwischen den zahlen im nenner?

[bayernmuellchen]

oder heißt es dann, dass man diesen grenzwert nur dadurch ausrechnen kann, dass man die binomische formel anwendet? irgendwie verstehe ich nicht ganz, wie ich sonst hier ausklammern soll...

[evtldocha]

@bayernmuellchen

Mannomann - Du fragst "Wie ziehe ich beim Zähler das n^4 aus der Wurzel?" (was nebenbei im Nenner ein Problem ist). Ich zeige Dir, wie man das aus der Wurzel zieht und dann kommst Du mit diesem Kommentar, der den ganzen Nenner betrifft.

Dann frag doch bitte gleich, wie man zum gegebenen Grenzwert kommt.