Grenzwert und Konvergenz einer Folge mit Wurzel?

Hi! Ich muss die folgende Folge auf Konvergenz untersuchen.

Konvergiert die Folge (n+1)*sqrt(n+1)-n*sqrt(n) oder divergiert diese?

Meine erste Vermutung war, dass der Grenzwert 0 ist, das kam auch immer beimnTaschenrechner so raus, aber nun habe ich gelesen, dass er anscheinend unendlich ist. Was davon stimmt denn? Ich kann beide Ansätze nachvollziehen.

Answer 1

[SeifenkistenBOB]

Wie begründest du denn den scheinbaren Grenzwert 0?

Wenn man die Folge mal ein bisschen "entknäult", sieht man es vielleicht besser.

$a_n\ =\ \left(n+1\right)\cdot\sqrt{n+1}-n\cdot\sqrt{n}$

$=\ n\cdot\sqrt{n+1}-n\cdot\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$

Die Differenz zwischen dem ersten und dem zweiten Summanden konvergieren gegen 0, werden dabei aber nie negativ. Jedoch wächst der dritte Summand gegen Unendlich, divergiert also. Damit divergiert auch ihre Summe.

Comments

[henriette657]

Aaah! Danke. Wie untersuche ich hier auf Konvergenz? Also ich weiss, dass die Folge nicht konvergiert, aber die Aufgabenstellung verlangt die Untersuchung auf Konvergenz mit dem epsilon Kriterium

Answer 2

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Wenn man den ersten Radikanden um 1 verkleinert, geht die Folge immer noch gegen unendlich.

Comments

[henriette657]

Hmm. Mein Taschenrechner zeigt mir immer 0 an :/