Welche Definition von Konvergenz eignet sich für den Beweis?
Ich habe gerade einige Schwierigkeiten bei meinen Matheaufgaben. Ich soll beweisen, dass eine Folge konvergent ist. Für den konkreten Grenzwert interessiert man sich dabei nicht. Es reicht also theoretisch aus, zu zeigen, dass die Folge konvergent ist. Hingegen reicht es nicht aus, einen konkreten Grenzwert zu bestimmen. Hier müsste dann auch ein Beweis geführt werden, dass die Folge gegen diesen Grenzwert konvergiert.
Mir fehlt für diese Beweise momentan der grundlegende Ansatz. Ich versuche deshalb in der Formulierung "zu zeigen ist, dass die Folge konvergent ist" die Definition für Konvergenz einzusetzen, um so etwas "konkreter" werden zu können. Allerdings gibt es für Konvergenz ja mehrere Definitionen. Daneben haben wir in der Vorlesungen auch noch einige Aussagen gefunden, die äquivalent zu "die Folge ist konvergent" sind.
Mich würde deshalb interessieren, welche Definition ihr bei einer solchen Aufgabe benutzen würdet.
1 Antwort
Das hängt von der Folge ab, je nach Folge ist eine Definition sinnvoller als die andere.
Grenzwert zu bestimmen. Hier müsste dann auch ein Beweis geführt werden, dass die Folge gegen diesen Grenzwert konvergiert.
Beim Grenzwert bestimmen beweist du indirekt dass die Folge konvergiert, weil du dann beim bestimmen meist Konvergenzsätze nutzt .
Richtig. Wir dürfen die Konvergenzsätze so aber nicht als gegeben annehmen. Das heißt, wenn ich jetzt davon Gebrauch machen würde, müsste ich zusätzlich den Beweis für die Konvergenzsätze führen.
Wenn ihr die in der Vorlesung bewiesen habt, dann solltet ihr die auch nutzen dürfen.
Wir haben die Konvergenzsätze nicht wirklich bewiesen (kommt vermutlich noch). Deshalb gilt zumindest jetzt, dass ich sie nicht ohne weiteres benutzen darf.
Mit Epsilon-Kriterium meinst du dann etwas wie Sei (a_n) eine Folge, die gegen a konvergiert. Dann muss gelten
|a_n - a| < Epsilon für alle n > n_0
Wobei n_0 in Abhängigkeit von Epsilon angegeben wird?
Das hängt von der Folge ab, je nach Folge ist eine Definition sinnvoller als die andere.
Hast du dafür vielleicht ein ganz kurzes Beispiel? Ich erkenne noch nicht, wenn welche Definition sinnvoller ist.
Richtig. Wir dürfen die Konvergenzsätze so aber nicht als gegeben annehmen. Das heißt, wenn ich jetzt davon Gebrauch machen würde, müsste ich zusätzlich den Beweis für die Konvergenzsätze führen.
Der Sinn dürfte sein, dass wir wirklich ganz grundlegend lernen, Beweise zu führen.