Konvergenz Beweisen?

Hallo,

ich habe ein Problem bei dieser Beweisaufgabe kann mir eventuell jemand helfen und sagen wie man da vor geht? Zeigen Sie, dass die n-te Wurzel von a hoch n + b hoch n , für a, b > 0 gegen max(a, b) konvergiert.  Nutzen Sie an geeigneten Stellen Limes-Ungleichungen nach unten und nach oben mit bereits bekannten Folgen.

Answer 1

[FataMorgana2010]

Du hast

$(a^n + b^n)^{\frac{1}{n}}$ Jetzt nehme ich mal an, dass a >=b ist (sonst tausche ich die beiden im Folgenden, das geht also ohne Einschränkung der Allgemeinheit. Ich klammere einfach a^n aus:

$(a^n + b^n)^{\frac{1}{n}} = (a^n (1 + \frac{b^n}{a^n}))^{\frac{1}{n}}$ Da kann ich mit arbeiten:

$= (a^n)^{\frac{1}{n}} (1 + \frac{b^n}{a^n}))^{\frac{1}{n}}$ $= a (1 + (\frac{b}{a})^n)^{\frac{1}{n}}$

Da b kleiner oder gleich a ist, ist der Bruch b/a kleiner oder gleich 1, das ändert sich auch nicht, wenn ich ihn potenziere. Also kann ich das (sogar unabhängig von n ) abschätzen als

$\leq a (1+1)^{\frac{1}{n}}$

(dabei muss ich mir ein paar Gedanken machen, insbesondere geht da ein, dass die Wurzelfunktion ja monoton steigend ist, wenn ich also den Klammerausdruck nach oben abschätze, wird auch der Ausdruck insgesamt größer). Am Ende habe ich also

$=a \cdot 2^{\frac{1}{n}}$ wenn ich jetzt n gegen unendlich gehen lassen, ist klar, dass a übrigbleibt.

Kann man auch anders aufschreiben:

Wieder sei a das Maximum der beiden. Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion ist auf jeden Fall

$a = (a^n)^{\frac{1}{n}} \leq (a^n +b^n)^{\frac{1}{n}}$ denn b ist ja auch positiv.

Andererseits ist (da a das Maximum ist)

$(a^n + b^n) \leq 2 a^n$ und daher wieder wegen der Monotonie

$(a^n +b^n)^{\frac{1}{n}} \leq (2a^n)^{\frac{1}{n}}$ Insgesamt also

$a \leq (a^n +b^n)^{\frac{1}{n}} \leq 2^{\frac{1}{n}} a$

Jetzt kann man wieder den Grenzwert bilden, und da hier wieder unten und oben nach a abgeschätzt werden kann, folgt mit dem Sandwichsatz wieder, dass der Grenzwert eben a, also das Maximum, ist.

Nochmal als Ergänzung: Der Sandwichsatz (oder Einschnürungssatz, https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz) sagt: Wenn eine Folge zwischen zwei Folgen liegt, die gegen den selben Grenzwert konvergieren, so konvergiert auch die mittlere Folgen dagegen.

Genau das habe ich in der letzten Ungleichung:

Links steht a. a ist eine konstante Folge, dann a ist ja ein fester Wert. Also ist

$\lim_{n \rightarrow \infty} a = a$ Rechts steht

$2^{\frac{1}{n}} \cdot a$ Das ist das Produkt aus einer Konstanten (nämlich wiederum a) und der Folge 2^(1/n). Da letztere konvergiert, kann ich rechnen

$\lim_{n\rightarrow \infty} ( 2^{\frac{1}{n}} \cdot a ) = \lim_{n\rightarrow \infty} 2^{\frac{1}{n}} \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} a = 1 \cdot a = a$ Und jetzt wird eben der oben genannten Einschnürungssatz angewandt und danach ist dann auch der Grenzwert von

$(a^n + b^n)^{\frac{1}{n}}$ gleich a.

Und da wir vorher a so ausgewählt haben, dass es das Maximum von a und b ist, ist damit das gewünschte gezeigt.

Comments

[MrPotatoman]

Danke für deine Antwort von a⋅2 hoch 1/n muss man dann doch noch die Konvergenz bzw. Grenzwert bestimmen oder? Weil ein Maximum muss doch eigentlich nicht immer ein Indiz fuer Konvergenz sein? Oder hat man es mit a⋅2 hoch 1/n schon fertig bewiesen?

[FataMorgana2010]

@MrPotatoman

a ist ja fix (und das es das Maximum von a und b ist, ist an DIESER Stelle gar nicht relevant), du musst dir also nur überlegen, was mit 2 hoch 1/n passiert, wenn n gegen unendlich geht. Und das geht gegen 1, das ist eine bekannte Folge. Damit geht  a⋅2 hoch 1/n  gegen a.

[FataMorgana2010]

@MrPotatoman

Ich habe das noch mal in der ursprünglichen Antwort ergänzt (weil man das in den Antworten mit dem Formeleditor so schlecht hinbekommt). Bei der Grenzwertbetrachtung spielt nur eine Rolle, dass a ja fest ist (also eine Konstante). Erst am Schluss wird das dann wieder wichtig.

Wir wählen aus a und b das Maximum aus (OE ist das a). Dann zeigen wir, dass unter dieser Voraussetzung der Ausdruck gegen a konvergiert. Damit haben wir gezeigt, dass der Ausdruck gegen das Maximum konvergiert.

[MrPotatoman]

@FataMorgana2010

Danke dir!!!