Konvergenz und Grenzwert?
Guten Tag,
ich habe Probleme bei der folgenden Aufgabe, kann mir da jemand weiterhelfen?
Aufgabe:
Seien (an) und (bn) zwei reelle Zahlenfolgen. Zeigen Sie, dass die durch c2n−1 := an und c2n := bn definierte Folge (cn) genau dann konvergiert, wenn die Folgen (an) und (bn) konvergieren und denselben Grenzwert haben.
danke im voraus!
2 Antworten
Schreibe einfach mal die Definitionen von Konvergenzen von (aₙ), (bₙ) und (cₙ)auf:
Die Folge (aₙ) konvergiert gegen a, wenn für alle ε>0 ein N ∈ ℕ existiert, sodass für alle n ≥ N gilt: |aₙ - a| < ε.
Eine Richtung ist dann trivial, weil wenn etwas für alle n ≥ N gilt, gilt das auch für alle ungeraden bzw. geraden n ≥ N.
Bei der anderen Richtung muss das N groß genug gewählt werden, sodass sowohl |aₙ - a| < ε also auch |bₙ - b| < ε gilt. Es muss also ein Maximum aus zwei N gewählt werden.
Die Hinrichtung folgt daraus, dass an und bn Teilfogen sind. Entweder hier habt dazu schon bewiesen oder dur überlegst es dir direkt mittels den Definitionen.
Für die Rückrichtung schreibst du dir am besten mal hin, was es bedeutet, dass an und bn gegen den selben Grenzwert a konvergieren. Dann versucht du daraus zu zeigen, dass cn konvergiert. Die Idee ist dabei, dass cn gleich an oder bn sein muss. Für große n gehen aber sowohl an als auch bn gegen a.