Häufungspunkte Folgen und Reihen?
Guten Tag,
zur Mathematik-Vorlesungsnachbereitung habe ich eine Frage. Es geht um Häufungspunkte von Folgen und Reihen im Rahmen von der Untersuchung von Grenzwerten etc.
Folgende Zusammenfassung habe ich mir selbst geschrieben, die noch sehr schwammig formuliert sein kann und evtl. Fehler aufweist:
"– Häufungspunkte (HP) –
Sei eine Folge an gegeben. Wenn ab einem bestimmten Punkt auf der Zahlengeraden sich die Zahlenwerte der Folgenglieder anhäufen, wobei gilt, dass im Intervall einer Folge: (1-Epsilon. 1+Epsilon) plötzlich alle ab einem gewissen Folgenglied an alle folgenden Folgeglieder in diesem Intervall liegen, so hat die Folge an hier einen Häufungspunkt. Das Intervall kann hierbei beliebig klein werden. Dann wird irgendwann ein N Element n erreicht sein, sodass alle Folgeglieder im Intervall liegen werden. Erinnern wir uns an diese eine Eigenschaft in Verbindung zu dem Satz von Eudoxos und dem archimedischen Axiom: Epsilon>0 -> n>= 1+ Floorfunktion(1/Epsilon) Element der natürlichen Zahlen im Intervall. Hierbei erkennt man, dass wenn Epsilon kleiner wird, n zwingend größer werden muss!"
Im Vorlesungsskript sind HP folgend definiert: "Ist an Teilmenge von IR eine Folge, so heißt a Element IR Häufungspunkt von an, falls es eine Teilfolge von an gibt, die a als Grenzwert besitzt ".
Müssen wir jede Folge also beim Untersuchen in Teilfolgen splitten, um zu jeder Teilfolge von an ein individuelles a zu finden?
Leider kann ich hier keine mathematische Schreibweise adäquat verwenden.
Hierbei schon eine kleine Frage: Gilt diese mathematische Beschreibung "Epsilon>0 -> n>= 1+ Floorfunktion(1/Epsilon) Element der natürlichen Zahlen im Intervall" nur für Nullfollgen?
Nun ist die Frage, wie bestimmt man durch vollständigen Beweis die Häufungspunkte?
Hierbei ist es auch spannend, da nun bisher folgende Sachen durchgenommen worden sind:
- Häufungspunkt
- Grenzwert
- Cauchy-Folge
- Beschränktheit (Supremum, Infimum, ...)
Kann ich diese verschiedenen Definitionen als jene vielfältige Möglichkeiten verstehen, die es uns ermöglichen, Rückschlüsse auf Konvergenz/Divergenz zu ziehen? Alles führt ja in etwa auf das selbe hinaus, wenn auch manchmal nicht hinreichend genug.
Es handelt sich hierbei nicht um eine Diff/AGLA Vorlesung eines reinen Mathematikstudiums, eventuell unterscheidet sich hierbei die Detailtiefe. Es geht um das Physikstudium deren Mathematiktiefe.
1 Antwort
wobei gilt, dass im Intervall einer Folge: (1-Epsilon. 1+Epsilon) plötzlich ab einem gewissen Folgenglied an alle folgenden Folgeglieder in diesem Intervall liegen, so hat die Folge an hier einen Häufungspunkt
Das ist der Spezialfall, in dem es nur einen Häufungspunkt gibt. In diesem Fall ist die Folge konvergent (gegen diesen Häufungspunkt). Folgen können aber durchaus mehrere Häufungspunkte besitzen, die allgemeine Definition lautet dann ungefähr:
wobei gilt, dass im Intervall einer Folge: (1-Epsilon. 1+Epsilon) plötzlich alle ab einem gewissen Folgenglied a_N unendlich viele Folgeglieder in diesem Intervall liegen, so hat die Folge an hier einen Häufungspunkt
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Hierbei schon eine kleine Frage: Gilt diese mathematische Beschreibung "Epsilon>0 -> n>= 1+ Floorfunktion(1/Epsilon) Element der natürlichen Zahlen im Intervall" nur für Nullfollgen?
Könntest Du vielleicht nochmal erklären, was Du damit genau meinst?
Nun ist die Frage, wie bestimmt man durch vollständigen Beweis die Häufungspunkte?
So, wie Du es erklärt hast. Zerlege die Folge in Teilfolgen und zeige, dass diese konvergieren.
Kann ich diese verschiedenen Definitionen als jene vielfältige Möglichkeiten verstehen, die es uns ermöglichen, Rückschlüsse auf Konvergenz/Divergenz zu ziehen?
Definitiv!
- Häufungspunkt: Hat eine Folge keinen oder mehr als einen Häufungspunkt, dann ist sie divergent.
- Grenzwert: Existenz des Grenzwertes und Konvergenz der Folge sind äquivalent.
- Cauchy-Folge: In R konvergiert jede Cauchy-Folge.
- Beschränktheit: Ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Konvergenz. Das heißt aber auch: Ist eine Folge nicht beschränkt, so ist sie divergent.
(In den reellen Zahlen) folgt aus der Existenz eines Häufungspunktes die Beschränktheit der Folge. Ab einem gewissen n liegen eben alle weiteren Folgenglieder in einer Epsilonumgebung, die danach nichtmehr verlassen werden kann.
Monotonie ist in diesem Zusammenhang nicht so aussagekräftig, es gibt monotone Folgen sowohl ohne, als auch mit einem und mit mehreren Häufungspunkten. Konvergent sind aber trotzdem nur diese mit eben genau einem Häufungspunkt.
Ich hoffe dass Dir meine Erklärung geholfen hat.
ohne, als auch mit einem und mit mehreren Häufungspunkten
Nicht mit mehreren, natürlich :D Sorry.
Entweder ohne oder mit genau einem.
(In den reellen Zahlen) folgt aus der Existenz eines Häufungspunktes die Beschränktheit der Folge. Ab einem gewissen n liegen eben alle weiteren Folgenglieder in einer Epsilonumgebung, die danach nichtmehr verlassen werden kann.
Danke. Aber wenn ich z.B. die Folge 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4... habe, dann hat diese doch einen Häufungspunkt bei 0, ist aber nicht beschränkt und konvergiert auch nicht.
Nein, 0 ist hier kein Häufungspunkt, da z.B. in der Umgebung (-1/2, 1/2) außer der 0 kein weiteres Folgenglied liegt.
Doch, jedes 2. Folgenglied liegt in diesem Intervall... Damit ist auch die Teilfolge, bestehend aus jedem 2. Folgenglied, konvergent.
Du hast natürlich vollkommen recht, keine Ahnung was da mit mir nicht stimmt heute.
Ich habe oben eine Korrektur vorgenommen. Zum Glück warst Du so aufmerksam! Vielen Dank dass Du so kritisch Deinen Standpunkt vertreten hast.
Dazu haben wir auf dem Übungsblatt auch Aufgaben zu. Da muss ich mal googlen/in der Literatur nachlesen, wie der direkte Beweis geht. Bei einer Sinusfunktion ist ja der Häufungspunkt klar, je nach Termin, da zB diese Funktion eine Periodizität aufweist.
Hallo,
erst einmal vielen Dank. Dies hilft weiter.
Zu deiner Frage: "Hierbei schon eine kleine Frage: Gilt diese mathematische Beschreibung "Epsilon>0 -> n>= 1+ Floorfunktion(1/Epsilon) Element der natürlichen Zahlen im Intervall" nur für Nullfollgen?
Könntest Du vielleicht nochmal erklären, was Du damit genau meinst?"
--> Im Skript der Vorlesung finde ich das unter der Grenzwert-Thematik. Da steht "Gegeben sei ein (beliebig kleines) Epsilon>0. Dann sind alle a_n mit n>= 1+ Floor-Funktion von 1/Epsilon Element der natürlichen Zahlen im Intervall (1-Epsilon, 1+Epsilon), also alle a_n bis auf die endlich vielen {a1, a2, ..., a(Floor Funktion von1/Epsilon)}
Was ist hierbei dieses n-te Glied der Folge als Floorfunktion von 1/Epsilon (greatest integer)? Eventuell habe ich dieses Ausdruck mathematisch noch nicht vollkommen interpretiert.
Ist diese mathematische Beschreibung für Grenzwerte auf alle konvergierende Folgen/Teilfolgen anwendbar? Ich habe da eine Ahnung, dass es gehen muss (was auch per Definition der Sinn sein soll), aber ist mir noch nicht ganz klar im Kopf, deshalb stelle ich auch hier die Fragen, die mir bei der Aufbereitung des Themas schwierig fallen.
Auf jeden Fall vielen Dank für deine Hilfe.
Das ist ziemlich merkwürdig. floor(1/epsilon) ist doch immer gleich 0.
floor/1/epsilon) ist nicht immer gleich 0. Epsilon ist in IR definiert und größer 0. Es geht also in einem offenen Intervall von 0 bis unendlich. Damit wäre Beispielsweise Epsilon = 0.25 möglich und der Termin 1/Epsilon kann jeden Wert annehmen, wenn Epsilon = (0,1) Intervall. Epsilon >1 führt zu einer Konvergenz gegen 0 bei steigendem Epsilon. Epsilon soll ja da eine Art Hülle sein, wo man dann beweist/prüft, ob nach einem gewissen Folgeglied a0 alle weiteren Folgeglieder im Bereich Epsilon liegen. Dafür braucht es bei einer konvergenten Folge einfach ein passend großes n, je nach der Winzigkeit dieses Epsilon-Intervalls. Mich fragt es nur, wie man diesen Termin verallgemeinert für alle Folgen nutzen könnte und was man dann anhand des Terms konkret einsetzen müsste bei einem schriftlichen Beweis.
Gilt das nicht nur für beschränkte (oder allenfalls auch unbeschränkte, aber monotone) Folgen (bin nicht Mathematiker)?