Grenzwert einer komplexen Folge bestimmen?
Hallo Leute,
Ich soll die Häufungspunkte folgender komplexer Folge bestimmen:
an := ((i+1)/√2)^n
Ich glaube, dass diese Folge aber bestimmt divergent ist, weiß aber nicht wie ich das beweisen kann mit der Grenzwertbetrachtung, da es sich ja um eine komplexe Folge handelt.
4 Antworten
Da der Betrag von 1+i nach Pythagoras Sqrt(2) ist, ist der Betrag von a_1 =(1+i)/Sqrt(2) also 1, die Zahl liegt somit auf dem Einheitskreis. a_1 lässt sich damit als a_1 = Exp(i*phi) mit einem Winkel phi schreiben. Da 1, 0 und i ein rechtwinkliges Dreieck in der komplexen Ebene bilden, liegt 1+i auf der Winkelhalbierenden des rechten Winkels, somit ist phi = pi/4. Damit hat man schliesslich:
a_n = ((1+i)/Sqrt(2))^n = (a_1)^n = (Exp(i*pi/4))^n = Exp(n/4*i*pi)
Da Exp(i*phi) 2*pi-periodisch ist, kann man schön die 8 Häufungspunkte der Folge a_n ablesen… :-)
Ich glaube, dass diese Folge aber bestimmt divergent ist,
Ist sie aber nicht, da der Betrag von a_n immer 1 ist (was du leicht prüfen kannst). Somit ist die Folge beschränkt, und hat somit mindestens einen Häufungspunkt.
Kleiner Tipp: wie kann man bei den Komplexen Zahlen die Multiplikation mit einer Komplexen Zahl mit Betrag 1 geometrisch interpretieren?
Der Betrag der Zahl ist 1, das Argument 45°,
welche Werte kann a_n deshalb nur annehmen?
wenn n eine natürliche Zahl ist - wovon hier auszugehen ist - dann nicht.
Es gibt dann genau 8 Werte, die angenommen werden können.
Schreibe a_n in Polarkoordinaten.
Unendlich