Konvergenz horizontale Gerade
Hi,
angenommen ich habe eine Folge An = 2. Kann man sagen, dass diese Folge gegen 2 konvergiert?
bzw, ich habe die Folge An = n^2/n^q. für welches q würde die Folge gegen 1 konvergieren? wäre das dann q = 2 ?
LG
2 Antworten
Um diese Frage zu beantworten möchte ich zunächst folgende Definitionen einführen:
Fast alle: Damit ist gemeint alle Folgenglieder, bis auf endlich viele Ausnahmen.
Grenzwert: Eine Zahl a ist Grenzwert einer Folge, wenn in jeder Epsilon-Umgebung von a fast alle Folgenglieder enthalten sind. Anders ausgedrückt: Egal wie klein oder groß dein Epsilon ist, du hast immer unendlich viele Folgenglieder innerhalb der Umgebung und nur endlich viele außerhalb.
Hat eine Folge an den Grenzwert a, so sagt man, an konvergiert gegen a.
1) Ja, die Folge an = 2 konvergiert gegen 2. Alle Folgenglieder sind genau 2. Egal wie klein oder groß ein beliebiges Epsilon ist, alle Folgenglieder liegen innerhalb der Epsilon-Umgebung, es gibt nur endlich viele "böse" Folgenglieder, die außerhalb liegen, genau 0.
2) Ja, an = n^2/n^q konvergiert gegen 1 für q = 2. Durch simples Einsetzen hast du dann nämlich an = n^2/n^2 und das lässt sich kürzen und ist 1.
Für alle q > 2 konvergiert die Folge gegen 0, für alle q < 2 hast du den uneigentlichen Grenzwert unendlich.
Fast alle für den Grenzwertbegriff und den Grenzwertbegriff um zu erklären, dass an = 2 gegen 2 konvergiert.
Ja und Ja.
wow, danke! du hast meine Frage mehr als zufriedenstellend beantwortet =)