Konvergenz der Potenzreihen. Warum existiert ein Konvergenzradius?
Warum gibt es einen Bereich in welchem die Reihe noch ''genügend'' konvergiert?. Wann konvergiert etwas stark genug?
1 Antwort
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Mathematik
Die Konvergenz einer unendlichen Reihe hängt ausschließlich von deren Folgegliedern ab. Bei einer Potenzreihe bestehen die Folgeglieder aber sowohl aus den a_k wie auch aus den x^k. D.h. sowohl das Wachstumsverhalten der x^k wie auch das der a_k hat Einfluß auf die Konvergenz an einer spezifischen Stelle x_0.
Der Test für die Konvergenz besagt schlicht, dass im beschriebenen Fall, also |x_0| < lim|c_n/c_(n+1)| das Quotientenkriterium auf die komplette Folge a_k*x^k angewendet werden kann und daher Konvergenz besteht sowie im umgekehrten Fall das Quotientenkriterium Divergenz ergeben wird.
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.Math.