Puntweise Konvergenz?

Für x=0;pi;2 konvergiert fn gegen 0. Ist die Grenzfunktion dann f(x)=0?
Und wie beweist man, dass fn nur gegen die 3 Punkte konvergiert?

Answer 1

[Willibergi]

Betrachte zunächst folgende elementarere Funktion:

$\widetilde{f}_n: [0,2\pi] \to \mathbb R, \quad \widetilde{f}_n(x) := x^n$

Ein bisschen Nachdenken liefert, dass die Funktion für x < 1 mit steigendem n immer kleiner wird und gegen 0 konvergiert, für x = 1 konstant 1 ist und für x > 1 bestimmt gegen Unendlich divergiert. Es gilt also (punktweise)

$\widetilde f_n(x) \xrightarrow{n\to\infty} \begin{cases} 0, & x \in [0, 1[, \\ 1, & x = 1, \\ \infty, & x \in\, ]1, 2\pi].\end{cases}$

Für die eigentliche, verkettete Funktion

$f_n: [0, 2\pi] \to \mathbb R, \quad f_n(x) := (2 \sin x)^n$

bleibt nun nur die Frage: Wann ist

$2 \sin x \in [0,1[, \quad 2 \sin x = 1, \quad 2 \sin x \in \, ]1, 2 \pi[$

– damit lässt sich die Konvergenz von f auf die von f Tilde zurückführen. Damit lässt sich dann auch der stetige Teil der Grenzfunktion herauslesen und eine Aussage über den Teil des Definitionsbereiches, auf dem gleichmäßige Konvergenz herrscht, treffen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

Answer 2

[LUKEars]

habt ihr kein Lehrbuch bekommen?

da steht bestimmt was über sowas: $\lim_{n\rightarrow \infty}a^n = 0$ für -1<a<1

oder? https://info.mathematik.uni-stuttgart.de/Ana1-Poschel-WS2021/v/v8-txt.pdf

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Julius920]

doch, aber ich weiß nicht, wie mir das weiterhelfen soll

[LUKEars]

@Julius920

du weißt dann schonmal die Teilmenge der Definitionsmenge, um die es geht....

[Julius920]

@LUKEars

Ja, das versteh ich noch

[LUKEars]

@Julius920

sieht irgendwie nach einer Grenzfunktion, die 0 ist... außer wenn das „a“ +1 ist... wenn das „a“ größer als +1 ist, dann kann das zugehörige x nicht in Df sein...

wenn „a“ <= -1 ist, dann alterniert das Ding auch noch... das geht also gar nich...

oder? ich hab das schon seit Jahren nicht mehr gemacht... braucht man bei meiner Arbeit nicht... 😋

Answer 3

[MagicalGrill]

Für x=0;pi;2 konvergiert fn gegen 0. Ist die Grenzfunktion dann f(x)=0?

Zumindest für x = 0, x = pi und x = 2pi nimmt die Grenzfunktion dann den Wert 0 an.

Und wie beweist man, dass fn nur gegen die 3 Punkte konvergiert?

Bevor du das schlussfolgerst, solltest du vielleicht tatsächlich mal f_2 und f_3 skizzieren oder dir gar f_15 plotten lassen. Was passiert zum Beispiel für x = pi/6 ?

Comments

[Julius920]

lim f_n (x) = f (x).

n→∞

ist die Definition von Punktweiser Konvergenz.

Aber wie finde ich dabei raus, wo f_n punktweise konvergent ist.
Bei x=pi/6 konvergiert f_n punktweise gegen 1.

[MagicalGrill]

@Julius920

Bei x=pi/6 konvergiert f_n punktweise gegen 1.

korrekt.

Aber wie finde ich dabei raus, wo f_n punktweise konvergent ist.

Indem du dir erstmal darüber Gedanken machst, wann a^n konvergiert. LUKEars hat ja bereits geschrieben, dass das genau für -1 < a < 1 gegen 0 konvergiert und zusätzlich noch für a = 1 gegen 1.

Entsprechend konvergiert f_n(x) genau dann gegen 0, wenn -1 < 2sin(x) < 1 ist und es konvergiert genau dann gegen 1, wenn 2sin(x) = 1 ist [über die Gleichung 2sin(x) = 1 bin ich auch auf die Idee mit x = pi/6 gekommen].

Und über diese Ungleichung (und diese Gleichung) kannst du jetzt Bereiche für x herausfinden, in denen f_n(x) konvergiert [und wohin es dort konvergiert].