Reihenwert von Cauchyprodukt?

Gegeben sind die Reihen mit den Summenfolgen

$a\ :=\frac{5^n}{n!}\ \ \ \ und\ b\ :=2^{-n}$

$\sum_{n=0}^{\inf}an\ =\ e^{5\ }\ \ und\ \sum_{n=0}^{\inf}2^{-n\ }\ =\ 2$

Ich habe das Cauchyprodukt gebildet:

$\sum_{n=0}^{\inf}2^{-n}\cdot e^{10\ }$

Jetzt untersuche ich es auf Konvergenz:

Nach Definition:

$\sum_{n=0}^{\inf}2^{-n}\cdot e^{10\ }\ =\ 2\cdot\ e^5$

eigentlich konvergiert es gegen

$2\cdot e^{10}$ ,oder? Mache ich was falsch?

Answer 1

[eterneladam]

Bist du sicher, dass du das Cauchy Produkt korrekt berechnet hast?

c(n) = Summe( k= 0; n; a(k) b(n-k) )

= Summe( k= 0; n; 5^k / k! / 2^(n-k) )

Das ist nicht gleich 2^(-n) e^10

Comments

[rosesarerosie4]

5^k/k! * 2^-(n-k)

5^k/k! * 2^-n * 2^k

= 2^-n * Summe ( k= 0; n; 5^k/k! * 2^k)

= 2^-n * Summe(  k= 0; n; 10^k / k!)

= 2^-n * e^10

Was mache ich hier falsch?

[eterneladam]

@rosesarerosie4

Die Summe geht nur bis n. Damit e^10 rauskommt, müsste sie bis unendlich gehen.