Bei einem Konvergenzradius R=0 Für welche IxI konvergiert die Reihe, da IxI nicht gleich null sein kann?
2 Antworten
Bei Konvergenzradius 0 konvergiert die Potenzreihe nur im Entwicklungspunkt.
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Beachte: Wenn R der Konvergenzradius einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x₀ ist, so konvergiert die Reihe für |x - x₀| < R, und die Reihe divergiert für |x - x₀| > R. Was für |x - x₀| = R passiert, kann man alleine aufgrund der Kenntnis des Konvergenzradius in der Regel nicht aussagen. (Insbesondere heißt die Aussage, dass die Reihe für |x - x₀| < R konvergiert nicht unbedingt, dass die Reihe für |x - x₀| = R nicht konvergiert.)
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Im konkreten Fall handelt es sich wohl um eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x₀ = 0, da du nur |x| statt |x - x₀| schreibst. Für Konvergenzradius R = 0 erhält man dann...
- [Die Reihe konvergiert für |x| < 0. Der Fall |x| < 0 tritt jedoch nicht auf.]
- Für |x| > 0 divergiert die Reihe.
- Für |x| = 0 hätte man erst einmal keine Aussage, ob die Reihe konvergiert. Jedoch ist es so, dass jede Reihe im Entwicklungspunkt konvergiert (siehe: folgendes Bild), weshalb die Reihe für |x| = 0 konvergiert.
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da IxI nicht gleich null sein kann
Warum sollte es nicht sein können, dass |x| gleich 0 ist?
0^0 ist in diesem Kontext als 1 definiert. Sonst wäre ja keine Potenzreihe am Entwicklungspunkt definiert.
Allgemein wird 0^0 meist als 1 definiert, da es auch für sehr viele Formeln praktisch ist, und man sonst die Formeln evtl. etwas umständlicher mit Fallunterscheidungen schreiben müsste.
Manche Mathematiker lassen 0^0 undefiniert, da sie argumentieren, dass unter anderem einerseits a^0 = 1 für alle a ungleich 0 ist und andererseits 0^k = 0 für alle k > 0 ist, und es so bei impliziter Stetigkeitsannahme im Kopf zu Verwirrungen kommen könnte, ob nun 0^0 = 1 oder 0^0 = 0 oder sonst etwa ist. Solche Mathematiker, die 0^0 undefiniert lassen, werden jedoch auch nicht
Σ(aₙ xⁿ für n von 0 bis ∞)
schreiben, sondern eher
a₀ + Σ(aₙ xⁿ für n von 1 bis ∞),
wenn sie konsequent sind.
Um welche Reihe handelt es sich denn bei der |x| nicht gleich 0 sein kann?
Es wird ja gesagt bei R=|x| kann es divergieren oder konvergieren. Da |x|<0 nicht sein kann gilt ja |x| = 0. Konvergiert dieses oder nicht?
Wenn du als Konvergenzradius 0 heraus bekommst, dann konvergiert die Reihe in keinem Punkt ausser im Entwicklungspunkt, wie @mihisu schon geschrieben hat.
Also konvergiert die Reihe dann für IxI = 0?
ich habe die Reihe a^n! * z^n gegeben. Für |a|>1 ist ja der Konvergenz Radius = 0. Darf man dann sagen das die Reihe für |z|=0 konvergiert? Wobei z eine komplexe Zahl ist
Wie @mihisu schon ausgeführt hat, konvergiert eine Potenzreihe für x=0 immer.
Da 0^0 nicht definiert ist