Dass deine Ergebnisse nicht passen können, kann man schon allein daran erkennen, dass die zweite Wurzel in der Gleichung für diese Werte gar nicht definiert ist. (Unter der Wurzel würde eine negative Zahl stehen.)
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Grundsätzliche Vorgehensweise zum Auflösen solcher Wurzelgleichungen:
- Auflösen der Gleichung nach einer Wurzel.
- Quadrieren, damit die entsprechende Wurzel wegfällt.
- Die Schritte 2 und 3 wiederholen, bis keine Wurzel mehr übrig ist.
- Die Gleichung weiter nach der Variablen x auflösen.
- Kontrollieren, ob die gefundenen x-Werte tatsächlich die ursprüngliche Gleichung (bzw. eine dazu äquivalente Gleichung vor dem ersten Quadrieren) erfüllt.
- Die Lösungsmenge besteht dann aus den gefundenen x-Werten, die die ursprüngliche Gleichung erfüllen.
Der Schritt 5 ist notwendig, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Es gilt im Allgemeinen für reelle Zahlen nicht...
..., sondern nur...
Wenn man also zwischendurch quadriert, hat man nur x-Werte entsprechend der Richtung „⇒“ gefunden. Für die Rückrichtung „⇐“ muss man also nochmal überprüfen, ob die gefundenen x-Werte tatsächlich Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind. Es könnten sonst nämlich auch zusätzliche Werte gefunden worden sein, die keine Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind, sondern nur die Gleichung nach dem Quadrieren erfüllen.
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Im konkreten Fall:
(Subtrahiere die zweite Wurzel)
(Quadriere)
(Links heben sich Quadrat und Wurzel gegenseitig auf. Rechts kann man die zweite binomische Formel nutzen.)
(Addiere 10 ⋅ √(x - 2) und subtrahiere 3x + 7)
(Dividiere durch 2)
(Quadriere)
(Subtrahiere 25x und addiere 50)
(Quadratische Lösungsformel)
Einsetzen von x = 3 in die ursprüngliche Gleichung [1]...
(Da die ursprüngliche Gleichung für diesen x-Wert erfüllt ist, handelt es sich bei x = 3 tatsächlich um eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.)
Einsetzen von x = 38 in die ursprüngliche Gleichung [1]...
(Da die ursprüngliche Gleichung für diesen x-Wert nicht erfüllt ist, handelt es sich bei x = 38 nicht um eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.)
Ergebnis: Die einzige Lösung der ursprünglichen Gleichung ist durch x = 3 gegeben.
