Warum konvergiert eine harmonische Reihe nicht?
Hi ihr Lieben,
ich habe eine Frage zur harmonischen Reihe. Ich dachte immer, dass jede Nullfolge konvergiert, aber das scheint bei der harmonischen Reihe nicht der Fall zu sein. Wenn ich das Qutientenkriterium bei der harmonischen Reihe anwende, dann wird mir doch angezeigt,dass sie kleiner als 1 ist und somit konvergiert? Liegt das irgendein Denkfehler vor?
5 Antworten
So funktioniert das Quotientenkriterium einfach nicht ;) Die Quotienten müssen nicht nur betraglich irgendwann kleiner als 1 sein, sondern es muss eine Zahl 0 < q < 1 geben, sodass die Quotienten irgendwann alle betraglich sogar kleiner als q sind.
Bei der harmonischen Reihe ist das nicht der Fall, da die Quotienten sich beliebig nahe an die 1 annähern. Insofern kannst du mit dem Quotientenkriterium hier keine Konvergenz (und auch keine Divergenz) nachweisen.
Gute Frage, denn das Quotientenkriterium ist eine "wacklige" Sache. Sollte jemand behaupten, dass der Grenzwert A(n+1)/A(n) "echt kleiner" als 1 sein muss, dann verweise ich auf
Der Grenzwert A(n+1)/A(n) kommt auch beliebig nahe an 1 heran, jedoch konvergiert die Summe gegen 1/6*pi^2.
Letztlich ist die harmonische Reihe mit 1/n oder 1/n^2 der Beweis, dass das Quotientenkriterium schlicht falsch ist.
Naja, wenn man das Kriterium zum Nachweis der Konvergenz verwenden will, dann muss der "Grenzwert" (sofern vorhanden) schon echt kleiner als 1 sein ;)
Wenn die Folge der Quotienten von unten gegen 1 konvergiert, kriegt man mit dem Quotientenkriterium eben keinen Hinweis aufs Konvergenzverhalten.
Das Notwendige Kriterium, dass aus einer konvergierenden Reihe folgt, dass die zugehörige Folge eine Nullfolge ist gilt nur in diese Richtung. Die umgekehrte Implikation ist falsch. Dafür ist die harmonische Reihe ein Beispiel.
Einen möglichen Beweis für die Divergenz der harmonischen Reihe findest du unter anderem hier: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Harmonische_Reihe#Divergenz_der_harmonischen_Reihe
Ob die harmonische Reihe konvergiert oder divergiert hängt doch von dem Exponenten im Nenner ab
Für 1/n^a ...
... konvergiert die Reihe mit a > 1
... divergiert die Reihe mit a <= 1
Das ist die allgemeine harmonische reihe, 1/n ist aber DIE harmonische Reihe
Das Quotientenkriterium funktioniert hier nicht. Versuche es mal mit dem Leibniz-Kriterium o. Ä.