Reihe die gegen 0 geht aber nicht die triviale Reihe ist?
Gibt es ausser der Reihe Σ 0 = 0 auch eine andere Reihe Σ a_n mit einer Nullfolge a_n ≠ 0 für mindestens ein n, die gegen 0 konvergiert, also Σ a_n = 0 mit a_n ≠ 0 für mindestens ein n ?
Darf a_n aus Summanden bestehen, oder nur aus einem einzelnen Term der seinerseits keine Summe ist?
Klar. Ist aber schon finito :)
Hättest du vielleicht eine Antwort auf die Frage:
Falls (a_n) eine Folge in {-1,0,1} ist und Σ (n ≥ 1) a_n / 3^n = 0 ist, ist dann a_n = 0 für alle n?
1 Antwort
Das lässt sich leicht konstruieren:
Nimm a_n mit
für alle n>0.
Die Reihe
konvergiert dann ganz wunderbar gegen 0, denn der zweite Summand ist nichts anderes als eine geometrische Reihe.
Ja, das ist meines Erachtens richtig. Argumentation:
Angenommen, a_0 wäre ungleich 0, ohne Einschränkung sei a_0 = 1 (sonst kommt im folgenden immer ein Minuszeichen davon, das spielt also keine Rolle. Dann kann ich folgendes aufschreiben:
Zunächst einmal wissen wir, dass
Σ (n ≥ 1) 1 / 3^n = 1/2 gilt (geometrische Reihe).
Nun ist mit a_0 = 1
Σ (n ≥ 1) a_n / 3^n = 1/3 + Σ (n ≥ 2) a_n / 3^n
Der zweite Summand wird maximal negativ für a_n = -1 für alle n ≥ 2.
Dann hat man:
Σ (n ≥ 1) a_n / 3^n = 1/3 + Σ (n ≥ 2) a_n / 3^n ≥ 1/3 - Σ (n ≥ 2) 1/ 3^n
= 1/3 - 1/3 Σ (n ≥ 1) 1/ 3^n = 1/3 - 1/3 * 1/2 = 1/3 - 1/6 = 1/6.
Also muss a_0 schon mal = 0 sein.
Und so kann man sich dann weiterhangeln, ganz korrekt dann mit vollständiger Induktion.
Vielen Dank, jetzt ist mir das klarer :)
Ich hätte eine weitere Frage:
Falls (a_n) eine Folge in {-1,0,1} ist und
Σ (n ≥ 1) a_n / 3^n = 0 ist, ist dann a_n = 0 für alle n?
Hättest Du darauf eine Antwort?