Grenzwert berechnen schwierig Mathematik?

Für l gegen unendlich, gegen welchen Grenzwert konvergiert dieser Ausdruck?

Answer 1

[mihisu]

Schätze nach oben bzw. unten ab und nutze den Sandwich-Satz:

https://de.wikipedia.org/wiki/Einschnürungssatz

Für l > 0 kann man abschätzen...

$\sqrt[\ell]{\ell^3+\ell^2+\ell}\geq \sqrt[\ell]{0+0+\ell}=\sqrt[\ell]{\ell}\xrightarrow{\ell\to\infty}1$

Für l > 1 kann man abschätzen...

$\sqrt[\ell]{\ell^3+\ell^2+\ell}\leq \sqrt[\ell]{\ell^3+\ell^3+\ell^3}=\sqrt[\ell]{3\cdot\ell^3}=\sqrt[\ell]{3}\cdot \left(\sqrt[\ell]{\ell}\right)^3\xrightarrow{\ell\to\infty}1\cdot 1^3=1$

Dementsprechend erhält man dann...

$\lim\limits_{\ell\to\infty}\sqrt[\ell]{\ell^3+\ell^2+\ell}=1$

============

Dabei wurde vorausgesetzt, dass bereits bekannt ist, dass

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$

ist.

Answer 2

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Den Term kann man auf beiden Seiten abschätzen. $\sqrt[l]{1} \leq \sqrt[l]{l^3 + l^2 + l} \leq \sqrt[l]{3l^3} \quad \text{für} \quad l \geq 1$ Mit $\lim_{l \to \infty} \sqrt[l]{l} = 1$ und Grenzwertsätzen und dem Sandwichlemma bekommt man die Lösung.