Grenzwert bei unendlich/unendlich?

wenn man den grenzwert/limes ausrechnet von ♾️ und man dann „♾️“/ „♾️“ hat. ist dann der grenzwert ♾️ oder 1

Answer 1

[TBDRM]

Wenn du z. B. zwei Funktionen f(x) und g(x) hast, die beide gegen Unendlich gehen, falls x gegen Unendlich geht, dann kann der Ausdruck

f(x) / g(x)

immernoch einen endlichen Grenzwert haben (siehe Antwort von Halbrecht).

Was du oben stehen hast („♾️“/ „♾️“), ist aber etwas anderes, nämlich statt

lim( f(x) / g(x) )

steht dort

(lim f(x)) / (lim g(x)).

Diesen Grenzwert kann man nicht angeben, da es sowohl für Zähler als auch Nenner keinen Grenzwert gibt (nämlich Uendlich).

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Answer 2

[verreisterNutzer]

In Ergänzung zur Antwort von Halbrecht und zur Erläuterung von TBDRM hier eine Skizze:

Die Rechnung für den Grenzwert der blauen Funktion ginge ungefähr so:

$\lim_{x\to\infty}\frac{x+2}{2x-3}=\lim_{x\to\infty}\frac{x\cdot\left(1+\frac{2}{x}\right)}{x\left(2-\frac{3}{x}\right)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{2-\frac{3}{x}}=\frac{1+0}{2-0}=\frac{1}{2}$

Answer 3

[Halbrecht]

Kann man nicht so sagen

limes (x+2)/(2x-3) ist 0.5

limes (x²+5)/(x³ + 8) ist Null

Comments

[sea42]

aber wäre bei den beiden nicht (wenn man  „♾️“  einsetzt) das Ergebnis „♾️“/ „♾️“

[Rammstein53]

@sea42

 „♾️“ ist nicht definiert, deshalb sind auch alle Rechenoperationen mit diesem Term undefiniert. „♾️“ + „♾️“ = 2*„♾️“ ??

[verreisterNutzer]

@sea42

Unendlich kann man nicht "einsetzen", da es keine Zahl ist.

[sea42]

@verreisterNutzer

ich dachte, dass man so den limes von „♾️“ ausrechnet, indem man ausrechnet ob +„♾️“ oder - „♾️“ rauskommt, wenn man „♾️“ einsetzen würde

[TBDRM]

@sea42

Wenn du Zähler- und Nennerfunktion einzeln betrachtest, ja.

Aber die Ausdrücke der oben steht (der Limes gilt ja für den gesamten Ausdruck) sind nach Grenzwertbildung 0,5 bzw. 0.

[verreisterNutzer]

@sea42

Nein, das darf man so nicht sehen, weil es zu sonst unsinnigen Ergebnissen führt. Die Beispiele von Halbrecht zeigen ja gerade, dass man zu unterschiedlichen Resultaten kommen kann (Die Regel von L'Hospital kann hier manchmal weiterhelfen).

[sea42]

@TBDRM

Ok danke. Ich verstehe aber nicht wieso bei den gegebenen Ausdrücken 0 und 0,5 herauskomme. Also mit welchem limes ist das denn berechnet?

[TBDRM]

@sea42

Man kann es so berechnen:

(x+2) / (2x+3)

Nun erweitert man den Bruch mit 1/x

(1/x (x+2)) / (1/x (2x+3))

= (1+2/x) / (2+3/x)

Wenn x nun gegen Unendlich geht, gehen 2/x bzw. 3/x gegen Null, also

(1+0) / (2+0) = 0,5.

Analog für das zweite Beispiel.

[sea42]

@TBDRM

Danke.

[TBDRM]

@sea42

Hier ist also entscheidend, dass der Limes für den ganzen Ausdruck gilt, da wir so bspw. Rechengesetze für Divisionen anwenden dürfen.

Was bei dir steht mit „♾️“/ „♾️“ würde eher heißen, dass du den Limes für die Zählerfunktion und den Limes für die Nennerfunktion separat ausrechnest und dann die Division betrachtest. Das ist aber etwas anderes und ist in diesem Fall auch nicht definiert (Uendlich ist kein Zahl).

Answer 4

[FakeProfile]

Nicht entscheidbar.

Es gibt verschiedene Unendlichkeiten.

Beispielerweise kann auch die Subtraktion zweier Summen deren GW gegen unendlich geht, endlich sein.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – The art of trolling is the finest of arts