u_i ist ein Spaltenvektor, v_i^T ist ein Zeilenvektor.

Soweit hast du recht.

Aber: Spaltenvektor * Zeilenvektor ergibt keinen Skalar, sondern eine Matrix.

Andersrum hättest du recht - Zeilenvektor * Spaltenvektor ist eine 1x1 Matrix. (edit: das ginge aber nur, wenn die beiden die selbe Dimension hätten, das ist hier ja im allgemeinen nicht der Fall).

Ein Spaltenvektor hier ist eine m x 1- Matrix. Ein Zeilenvektor ist eine 1 x n-Matrix.

mx1-Matrix * 1xn-Matrix ergibt... mxn-Matrix.

Hier kannst du das auch noch mal sehen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation#Spezialf%C3%A4lle

Ja, wenn ein Elternteil zum Zeitpunkt der Geburt des Kindes die deutsche Staatsbürgerschaft hat, dann bekommt das Kind automatisch die deutsche Staatsbürgerschaft.

Für den nicht deutschen Elternteil gibt es dann die Möglichkeit, einen Aufenthaltstitel für Deutschland zu bekommen, weil Eltern ja in der Lage sein müssen, die Personensorge für das Kind ausüben zu können. Solange das Kind unter 18 und ledig ist und in Deutschland wohnt, kann also das nicht-deutsche Elternteil leichter nach Deutschland kommen, wenn es das Sorgerecht für das Kind hat. Natürlich gibt es Ausnahmen (z. B. eine Einreisesperre aus anderen Gründen), aber im Prinzip geht es hier um das Recht des Kindes auf beide Eltern.

Übrigens gilt das grundsätzlich bereits während der Schwangerschaft, also bereits für das ungeborene Kind.

Erstmal müsstest du jetzt sagen, welche Wahrscheinlichhkeit du eigentlich berechnen willst. Ich formuliere das mal:

Wenn eine Zahl bei einer Ziehung nicht vorkommt, wie wahrscheinlich ist es dann, dass diese Zahl dann auch bei den nächsten 52 Ziehungen nicht vorkommt.

Du hast richtig berechnet, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl nicht vorkommt, ist eben gerade 43/49.

Dass sie bei 52 Ziehungen nicht vorkommt ist also (43/49)^52.

Mein Rechner spuckt mir aus, dass (43/49)^52 = 0,00112244 ist (gerundet), die Wahrscheinlichkeit liegt also bei rund 0,1%. Das finde ich jetzt nicht so selten.

Dazu kommt noch etwas anderes: In der ersten Ziehung ist es ja nicht nur die eine Zahl, die nicht vorgekommen ist, sondern auch noch 42 andere - und jetzt müsstest du eigentlich ja die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass auch die unter den nächsten 52 Ziehungen nicht vorkommen. Dann sieht das am Ende schon wieder ganz anders aus. Denn das eigentlich interessante Ereignis ist ja, ob überhaupt eine Zahl 53mal nicht vorkommt.

Du kannst einfach die Gleichung aufstellen, wie sie in der Aufgabenstellung am Anfang steht:

 Jetzt musst du zeigen, dass das nur gilt, wenn die λ's alle gleich 0 sind. Dazu setzt du die Terme für die vier Polynome ein. Dann steht da:



Der "mechanische" Weg wäre jetzt der, dass du das alles ausmultiplizierst und dann jeden Koeffizienten gleich 0 setzt, d. h. du bekommst irgendwas

a + bz + cz² + dz³ = 0 (wobei a, b, c und d jeweils von den λ's abhängen), dann setzt du a=0, b=0 usw. und hast wieder ein LGS.

Das ist hier aber gar nicht nötig.

Wenn du dir die zweite Gleichung anschaust und von hinten anfängst, dann siehst du gleich, dass der Koeffizient vor dem z³ am λ_4 * 2 ist - das kann nur für λ_4 = 0 richtig sein. Und so kannst du dich dann von hinten nach vorne hangeln, bis du am Ende siehst, dass alle λ's gleich Null sein müssen, die vier Polynome sind also linear unabhängig.

Da wird jeweils die Formel für die Summen der geometrischen Reihe benutzt:



Einmal ist dabei a = 3 (für den ersten Teil der Summe), einmal ist a=-1 (für den zweiten).

Das sieht sehr nach Fliegenpuppen aus.

Wenn unter deiner Tasche welche sind, werden auch an andere Stellen deiner Wohnung welche sein. Lag irgendwo in deiner Wohnung noch Fleisch herum? Mülleimer? Tierfutter?

Heb mal andere Gegenstände in einer Wohnung auf.

Fliegenbefall ist nicht wirklich schlimm, nur nervig. Die Puppen, die du findest absaugen und den Staubsaugerbeutel entsorgen. Ansonsten sehr genau darauf achten, dass nichts aber auch gar nichts in deiner Wohnung herumsteht, in das die Fliegen ihre Eier legen können, Müll jeden Tag heraus, Tierfutter nie lange stehen lassen. Am besten eine elektrische Fliegenklatsche kaufen, du wirst wahrscheinlich einige Tage lang mit Mitbewohnern zu kämpfen haben. In drei Wochen haben die sich locker über die ganze Wohnung verteilt.

Das ist nicht so einfach, wie du das jetzt vorstellst.

Richtig ist, dass es etwas gibt, das größer ist als das, was du als unendlich z. B. aus dem Schulunterricht gibt, es gibt verschiedene Arten. Um sich das genau vorstellen zu können, musst du zuerst einmal schauen, was bei unendlich überhaupt "gleich" oder "mehr" bedeutet.

Stell dir mal folgendes vor:

Du nimmst alle natürlichen Zahlen, N = {1, 2, 3, ...... }.

Jetzt addierst du zu jeder dieser Zahlen 1, dann erhältst du die Menge {2,3,4,....}, die nenne ich mal M.

Offenbar ist jedes Element aus M auch in N enthalten, aber umgekehrt ist die 1 nur in N, nicht aber in M enthalten. Aber ich habe doch die Anzahl der Elemente nicht dadurch verändert, dass ich zu jedem Element aus N 1 addiert habe, oder?

Ich kann das sogar noch weiter treiben: statt 1 zu addieren, multipliziere ich jedes Element von N mit 2, dann bekomme ich die Menge M' = {2,4,6,8,.....}.

Da fehlen sogar unendlich viele Zahlen, die in N aber nicht in M' liegen, und auch hier: Wieso?

Was man nun macht, um zu zeigen, dass zwei Mengen die gleiche Größe (genauer: die gleiche Mächtigkeit haben) haben, ist, dass man Paare bildet aus Elementen aus beiden Mengen. Wenn man es dann schafft, dass es für jedes Element aus der einen Menge genau ein Paar gibt, wo das Element links steht, und für jedes Element aus der anderen ein Paar gibt, wo das Element rechts steht, dann heißen diese Mengen gleichmächtig. Du kannst es dir auch anders vorstellen: Jedes Element aus der einen Menge muss genau einen Partner aus der anderen finden, so dass am Ende alle versorgt sind.

Für die Mengen N und M sucht sich z. B. jeder aus der Menge N denjenigen, der gerade um 1 größer ist als er selbst, das wären dann die Paare

(1,2), (2,3), (3,4)... du siehst, da kommt jeder drin vor.

Man kann nun (das zeige ich jetzt nicht) zeigen, dass man auch das was du vorgeschlagen hast (zu jedem der angenommen unendlich vielen Menschen gibt es unendlich viele Tiere) so anordnen kann, dass die sich z. B. N zu Paaren zusammen finden können.

Man kann aber auch zeigen, dass es Mengen gibt, die sozusagen "größer" sind, für die man also solche Paare nicht finden kann. Und wenn es unendlich viele solcher Eigenschaften gibt, also {Mensch, Tier, Pflanze, Objektart4, Objektart5, .... } (damit übersetze ich deine Aussage: " und diese Multiplizierung geht unendlich in alle Ewigkeit weiter"), dann in der Tat kommt man an diesen Punkt.

Auf jeden Fall ist es richtig, dass du versuchst, so viel wie möglich zu verstehen, das machst du schon ganz richtig.

Zwei Dinge empfehle ich dir noch dazu:

1. Es gibt eine Reihe von Definitionen und kleineren Sätzen, die musst du nicht nur verstehen, die musst Du einfach auswendig können. Es gibt sehr verschiedenen Techniken zum Auswendiglernen, ich habe immer mit Karteikarten gelernt, aber das ist Geschmacksache. Du hast ja schon eine Liste gemacht, aber wie gesagt: Verstehen ist das eine, ohne Unterstützung abrufen können, das andere. Das betrifft z. B. so grundlegende Definitionen wie VR, Isomorphismus, Basis, Erzeugendensystem, Rang, Kern, Bild, lineare Hülle, Eigenwerte, Homomorphiesatz, Rangssatz...
2. Zumindest die elementaren Sätze musst du auch beweisen können. Verstehen ist auch hier gut, aber du musst auch üben, einen Beweis ohne Hilfsmittel hinschreiben zu können, nicht nur wissen, welche Sätze du im Prinzip brauchst, sondern auch, wie man den Beweis konkret und direkt hinschreibt.

Grundsätzlich wäre es sicher sinnvoll, mit jemandem gemeinsam zu lernen. Hast du eine Arbeitsgruppe, mit der du die Aufgaben gerechnet hast? Nichts vertieft den Stoff besser, als ihn sich gegenseitig zu erklären.

Versuche doch einmal, die Pflasterungen aufzuteilen. Nimm dazu eine beliebige Ecke, sagen wir A1. Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten A1 zu überdecken - mit einem Stein auf A1-A2 oder einem Stein auf A1-B1. Wenn du jetzt zeigen kannst, dass beide Möglichkeiten gleich oft vorkommen, dann muss die Anzahl insgesamt gerade sein. Dass die Möglichkeiten gleich oft vorkommen, zeigt man oft so, dass man eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen nimmt. Welche könnte das hier sein?

2/3 der Bevölkerung sind geimpft, 1/3 nicht. 1/15 der Geimpften sind erkrankt. Also sind 2/3 * 1/15 = 2/45 der Bevölkerung geimpft und krank. Da unter 7 Kranken nur ein geimpfter ist, gibt Sechsmal so viele ungeimpfte Kranke. Es gibt also 6 * 2/45= 4/15 ungeimpfte Kranke. Insgesamt sind 1/3 ungeimpfte, der Anteil der ungeimpfte Kranken ist also 4/15 * 3=4/5

Du musst ein bisschen aufpassen. Du hast einerseits die Dimension der beiden Vektorräume V und W und dann die Dimension des Vektorraums Hom(V,W).

Das sind immer Dimensionen von Vektorräumen.

Die Dimension einer einzelnen Matrix dagegen ist eigentlich nicht wirklich definiert, man spricht in der Mathematik da von Typ ("eine mxn-Matrix"). Das gleiche gilt für eine Abbildung. Was soll denn die Dimension einer Abbildung sein?

1. Die Formulierung ist komplett unklar. Kannst du da mal die Originalformulierung reinstellen?
2. Die Dimension von Hom(V, W) ist gleich dim V * dim W. Das ist nicht die Dimension einer Matrix, sondern die Dimension des Vektorraums, der alle Matrizen über dem Körper enthält. Jedes Element von Hom(V, W) ist eine lineare Abbildung, jede lineare Abbildung kann man mit einer Matrix identifizieren. Eine lineare Abbildung von V nach W entspricht dabei Matrix mit dim V Spaltenvektoren und dim W Zeilenvektoren. Darum ist

also die Dimension des VR, der alle Matrizen mit dim V Spalten und dim W Zeilen enthält.

Eine kanonische Basis dieses VR sind die Matrizen, die an genau einer Stelle eine 1 und an allen anderen Stellen eine Null enthalten. Es ist eigentlich sofort klar, dass diese Matrizen erstens linear unabhängig sind und zweitens ein Erzeugendensystem bilden. Und es ist auch klar, dass es davon eben gerade dimV*dimW Matrizen gibt.

' 3. Jede einzelne Abbildung kann über die Angabe der Funktionswerte definiert werden, klar. Aber du willst ja nicht die einzelnen Abbildungen betrachten, sondern die Menge aller linearen Abbildungen. Stell es dir so vor :

Ich habe die Basen {a,b,c} und {A, B, C}. Dann habe ich z. B. als lineare Abbildungen die Fortsetzungen von

f(a) = A, f(b) = A, f(c) = A

f(a) = A, f(b) = A, f(c) = B

f(a) = A, f(b) = B, f(c) = A

f(a) = A, f(b) = B, f(c) = B

f(a) = B, f(b) = A, f(c) = A

f(a) = B, f(b) = A, f(c) = B

f(a) = B, f(b) = B, f(c) = A

f(1) = B, f(2) = B, f(3) = B

usw. usw.

Das sind deutlich mehr als 3.

Außerdem hängt die Dimension natürlich auch von der Dimension der Definitionsmenge ab - nach deiner Logik wären dim Hom(V, W) und dim Hom(V', W) ja immer gleich, egal, wie groß V und V' sind.

Du hast die Formel auswendig gelernt, aber du hast gleich mehrere Fehler gemacht:

• Du hast den Prozentwert und den Prozentsatz vertauscht. Merke: der Prozentsatz ist immer das, wo das % dran steht. Grund- und Prozentwert sind die andere Größen.
• Selbst wenn deine Einsetzung richtig wäre, darfst du nicht schreiben: 20% * 100 / 80, denn 20% ist 0,2, das Prozentzeichen muss also weg.
• Jetzt musst du noch überlegen, welcher Prozentsatz denn hier der richtige ist. 20% entsprechen dem Rabatt. Du hast aber die Größe, die übrigbleibt, wenn der Rabatt weg ist - also interessieren dich 80%. Wenn nach Abzug von 20% Rabatt die Summe von 88 Euro überbleibt, dann entsprechen die 88 Euro gerade 80% vom gesuchten Grundwert.

Also: gesucht ist der Grundwert. Du hast den Prozentwert 88 Euro und den Prozentsatz von 80%.

Also steht da dann:

Grundwert = 88 *100 / 80 = 110.

Zunächst einmal schreibst du am Anfang nur, dass K (das ist übrigens ein etwas problematischer Name für einen Vektorraum, da man mit K üblicherweise den Körper bezeichnet, über den der VR definiert ist), von {v_1, v_2, v_3, v_4} erzeugt wird, du schreibst aber nicht, dass diese Vektoren linear unabhängig sind, also eine Basis darstellen. Im folgenden argumentierst du aber mit der linearen Unabhängigkeit, wird die also vorausgesetzt oder nicht?

Wenn die lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt wird, dann hast du die Dimensionen von U und U' korrekt bestimmt und {v_1, v_2, v_3} bzw. {v_3, v_4} sind die Basen von U bzw. U.

Der Schnitt von U und U' enthält alle Vektoren, die sowohl in U als auch in U' enthalten sind. Er enthält aber nicht nur den Vektor v_3, sondern wenn überhaupt wird er vom Vektor v_3 erzeugt. Allerdings musst du hier bei der Argumentation sehr genau hinschauen. Es ist nicht so, dass automatisch der Schnitt von U und U' vom Schnitt von zwei Basen von U bzw. U' erzeugt wird, die beiden Basen können auch disjunkt sein, obwohl der Schnitt nicht die Dimension 0 hat. Da wir in diesem Fall aber beide Basen als Teilmengen der ursprünglichen VR-Basis betrachten können, ist das hier so, aber du kannst im Allgemeinen NICHT einfach den Schnitt nehmen.

Die Berechnung am Ende ist dann korrekt, ja.

Aber wie gesagt: v_1, v_2, v_3 und v_4 müssen linear unabhängig sein, sonst passt das alles nicht.

In der zweiten Lösung steht vor der Wurzel nicht nur minus, sondern mal minus.

Darum rechnet er nicht

sondern

Das kann man sich Stück für Stück überlegen.

Im ersten Schritt kannst du dir klarmachen, dass du das nur für die Basen 0,...,9 zeigen musst, weil die letzte Ziffer der Potenz nur durch die letzten Ziffern der Basis bestimmt wird.

Im zweiten Schritt hilft es zu wissen, dass eine Quadratzahl nur auf 1, 4, 6, 5 oder 9 enden kann. Daher kann eine Zahl hoch 4 nur auf 1, 5 und 6 enden.

Endet x^4 auf 1, so hat x^5 dieselbe Endziffer wie x.

Endet x^4 auf 5, so endet x auch auf 5 und x^5 auch.

Endet x^4 auf 6, so ist x gerade. Dann ist die Endziffer von x^5 dieselbe wie die Endziffer von 6 * Endziffer von x. Da die Endziffer von x gerade ist, kann ich die als 2n schreiben, 6 * 2n = 12 * n = 10 * n+ 2n, und die 10*n beeinflussen die Endziffer nicht.

Damit habe ich alle Fälle erwischt.

Bei einem Produkt spielen die Klammern keine Rolle, es ist

a * (b * c) = (a * b * c)

Man kann 2/3 also einfach vor die Klammer ziehen, dadurch ändert sich nix. Man könnte die Klammern auch ganz weglassen, die bleiben da nur, damit man später besser sieht, was da steht.

Und dann wird die ganze Gleichung mit x_1 multipliziert, im Einzelnen:

 wird zu

 Das x_1 auf der linken Seite hole ich jetzt in die Klammer hinein und ziehe es nach vorne:

 Und jetzt ist das einfach nur Anwendung der Potenzgesetze:



Beweis Surjektivität: Du nimmst ein beliebiges Element der Zielmenge und zeigst, dass es ein Urbild gibt. Also z. B.:

Die Abbildung sei f(x) = 2x, f: R -> R. Jetzt nehme ich ein beliebiges y aus der Zielmenge (hier auch R) und suche ein x aus R, so dass f(x) = y gilt. Das ist hier einfach: ich setze x=y/2, dann ist nämlich f(x) = f(y/2) = 2*y/2 = y. Da ich die Wahl von y in keiner Weise eingeschränkt habe (es muss eben nur aus der Zielmenge gewählt werden), habe ich damit für alle y aus R gezeigt, dass es ein x aus R gibt mit f(x) = y. Also ist f surjektiv.

Anderes Beispiel: f(x) = x², f: N -> N. Wähle ich hier z. B. y = 5, so finde ich kein Urbild, da die Wurzel von 5 nicht in N liegt.

Beim Beweis von Surjektivität und Injektivität kommt es immer auf die Definitionsmenge und die Zielmenge an! So ist z. B. die Abbildung f(x) = 2x, f: N -> N nicht surjektiv, auch wenn - wie oben gezeigt - f(x) = 2x, f: R-> R surjektiv ist.

Beweis Injektivität: Du nimmst an, dass für zwei beliebige Elemente a, b aus der Definitionsmenge f(a) = f(b) gilt und zeigst dann, dass dann auch a =b gelten muss. Im Beispiel oben:

f(a) = f(b) => 2a = 2b => a=b, also ist f injektiv. Auch hier: immer auf die beiden Mengen schauen. Es ist z. B.

f(x) = x², f: R -> R nicht injektiv (für a=1 und b=-1 gilt f(a) = f(b))

aber

f(x) = x², f: R+ -> R ist injektiv.

Du kannst jede abbrechende Dezimalzahl auf zwei Arten schreiben.

2,4 = 2,39999999999.... (die Punkte sollen den Periodenstrich über der 9 ersetzen)

0,1 = 0,099999999....

usw. usw.

10 = 9,99999 ....

Jede dieser Zahlen hat zwei äquivalente Darstellungen.

Eine Projektion ist eine lineare Abbildung, für die P = P * P gilt. D. h. für die Matrix gilt

M(P) = M(P) * M(P)

Damit gilt für die Determinante

det M(P) = det M(P) * det M(P)

Das kannst du umformen zu

det M(P) * (det M(P) - 1) = 0

Und das kann nur für det M(P) = 0 oder det M(P) = 1 richtig sein.

Wenn x in einer höheren Potenz als 1 steht, dann ist es KEINE lineare Funktion mehr.

x max. in Potenz 1 : LINEARE Funktion, Graph ist Gerade

x höhere Potenz als 1: KEINE lineare Funktion, Graph ist (allgemeine) Parabel.