Konvergiert die Folge nicht gegen 0?
oder wie kommt man auf 1?
5 Antworten
Sieh dir mal die Reihendarstellung der Sinusfunktion an! Wenn du (für x ungleich 0) sin(x) durch x teilst, bekommst du 1 plus einem Rest, der für x gegen 0 offensichtlich gegen 0 konvergiert.
Hallo,
für sehr kleine Werte von x gleicht sich der Sinus von x x an und Du kannst sin (x) durch x ersetzen.
Da 1/k für k gegen unendlich sehr klein wird, geht sin (1/k)/(1/k) gegen (1/k)/(1/k) gleich 1.
Da 1/k gegen Null geht, aber niemals zu Null wird, kann man hier kürzen.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich würde das so beantworten:
Die Terme in der Summe gehen alle gegen null für k → ∞.
👍 Klassischer Reinfaller. Da ist die Frage nach Henne und Ei einmal entschieden ;-)
Nein. Die Potenzreihendarstellung ist die Definition der Sinus-Funktion. Man "hat" nicht von irgendwoher die Sinusfunktion und "rechnet dann ihre Taylor-Reihe aus", sondern die Reihe macht definitorisch den Anfang! (Die auf den Winkelbegriff gegründete Einführung der Sinusfunktion der Schulmathematik ist für einen stringenten Theorieaufbau ungeeignet.)
Wer diesen Grenzwert nicht kennt, wird wohl kaum die Reihendefinition des Sinus kennen. Wenn er die Reihendefinition kennt, ist der Grenzwert trivial. Dann müsste er aber zeigen, dass die Reihe überhaupt konvergiert und mit dem wohlbekannten Sinus übereinstimmt.
Man kann auch den Fundamentalsatz der Algebra als Einzeiler mit Methoden der Differentialtopologie beweisen…
Abgesehen davon, wird der Sinus ja nur so definiert, weil die Definition mit der Taylorreihe übereinstimmt. Da geht aber schon der Grenzwert ein…
Du vermischst didaktische mit systematischen Denkweisen. Ich spreche von einem Aufbau einer Theorie, nicht vom didaktischen Weg, einen altersgemäßen Zugang zu dieser zu erlangen. Auch spreche ich nicht von der Motivation, eine Definition gerade in einer bestimmten Weise zu fassen, obwohl diese bei deren Wahl natürlich die Hauptrolle spielt.
Nach einem herkömmlichen Besuch eines Gymnasiums ist die Sinusfunktion eben nur vermeintlich "wohlbekannt", sondern - und rein didaktisch auch gar nicht zu kritisieren - auf anschaulichen Sand gebaut. Es ist wertvoll, den Begriff "Sinus" mit geometrischen Vorstellungen zu verbinden, jedoch ist es kein Zufall, dass im Aufbau der Analysis die Sinusfunktion vermöge der Reihe definiert wird. Nicht nur wegen der Verlässlichkeit der begrifflichen Basis (ohne sich auf die Untiefen des Winkelbegriffs einlassen zu müssen), sondern auch im Hinblick etwa auf die Verwendung in der komplexen Analysis und in der Kombinatorischen Algebra (Stichwort: formale Potenzreihen-Algebren) ist das die Definition der Wahl, jedenfalls nach gegenwärtigem State of the Art.
Nein die Folge konvergiert gegen 1. Das kannst du schon allein dadurch sehen wenn du mal ne große Zahl einsetzt dass 0 nicht hinhauen kann.
aber sin (1/k) wird ja irgendwann zu 0 wenn ich für k = unendlich einsetze ebenso gilt das für unten oder nicht?
sin(1/k) wird aber auch irgendwann zu null. Wenn du unendlich einsetzt dann hast du sin(0)=0
LG
ja genau und dann hat man doch 0/0 geben wenn man für k = unendlich einsetzt oder nicht? wie kommt man dann auf 1?
0/0 ist nicht definiert. Aber 1/k wird niemals 0, sondern nähert sich der 0 nur immer mehr an. Du hast bei sin(x)/x eine Definitionslücke bei x=0, der Grenzwert für x gegen Null ist aber 1.
Hier wird es schön erklärt, ohne die Taylor-Entwicklung der Sinus-Funktion zu benutzen…
Versteh mich bitte nicht falsch. Die Ableitung in dem Video ist sehr gut nachvollziehbar, offenbart aber auch eines meiner Probleme, dass ich immer mit Mathematik hatte: Es ist mir hier - ganz streng mathematisch - nicht einsichtig, warum ich den rechten Teil der Ungleichung x ≤ tan(x) annehmen darf (ohne schon wieder auf Vorwissen zurückzugreifen und damit den gleichen Fehler wie in meiner Antwort nochmal zu machen). sin(x) ≤ tan(x) sehe ich sofort aus den Strahlensätzen als verwendbar ein. Aber mit x als der Bogenlänge kleiner gleich als tan(x) habe ich ein Problem (Der Sprecher im Videos verwendet ja auch nur das Wort "offensichtlich", was ich als in Sinne dieses Kommentars als "nicht mathematische Begründung" bezeichnen würde).
Kannst Du mir da auf die Sprünge helfen?
Ich muss mir das Video nochmal anschauen. Ich wollte die eigentliche Frage auch erst über die Argumentation mit der Taylorreihe so wie Du beantworten. Dann ist mir aber eingefallen, dass wir das in der Schule bei der Bestimmung des gesuchten Grenzwertes so gemacht haben, wie im Video beschrieben. Das hatte schon einen guten Grund. Ich bin gerade unterwegs, schaue mir das Video heute abend nochmal an und sag dann Bescheid… :-)
Hab mir das noch mal in dem Video angeschaut. Die Berechnungen finden ja am Einheitskreis statt, so dass x gerade die Bogenlänge des Kreissegmentes ist. tan x ist die Länge des vertikalen Tangenten-Stückes an den Kreis durch (0, 1) zum Winkel x. Wenn man jetzt x = 2pi/n setzt und sich die Konstruktion um den Kreis fortgesetzt vorstellt, erhält man ein regelmässiges n-Eck, das den Kreis umschreibt. Jetzt kann man wieder argumentieren, dass ein kreisumschreibendes n-Eck „offensichtlich“ einen grösseren Umfang hat als die Kreislinie mit Länge 2pi/n*n = 2pi. Man kann das aber auch exakt begründen, indem man n = 2^k setzt. Für 2er-Potenzen kann man den Umfang des 2^k-Ecks mit Pythagoras exakt berechnen - ohne wieder trigonometrische Funktionen zu benutzen - und zeigen, dass die Folge U_k der Umfänge eine monoton fallende Folge mit U_k > 2pi ist. Da dies für alle 2^k-Ecke gilt, muss es auch für alle n-Ecke gelten. Damit ist also 2pi/n stets kleiner als tan(2pi/n). Stetigkeitsüberlegungen liefern dann dasselbe Ergebnis für jeden Winkel x.
Ist meiner Meinung nach ein Kreisschluss, weil man für die Taylor-Entwicklung die Ableitungen der Sinus-Funktion benötigt - der gesuchte Grenzwert wird aber gerade bei der Bestimmung der Ableitung benötigt… :-)