Frage bzgl. Limes Superior, Grenzwert?
In meinem Mathebuch steht diese Formel. Hat jemand eine Beweisidee, mehr nicht?
a_n ist eine Folge reeller Zahlen.
Mit freundlichen Grüßen
Mir ist grad folgendes eingefallen:
Sei h= Lim sup Ia_nI^1/n
Es muss eine Teilfolge von la_nI existieren, die nach der Bildungsvorschrift a‘_n= h^n aufgebaut ist. Der Einfachheit halber nehme ich an, dass h positiv ist. Wenn h=1 ist, dann sind alle Folgenglieder a‘_n=a‘_n+1=1, somit ist die Behauptung trivial.
Sei o.b.d.a h>1. Dann sind die Folgenglieder a‘_n=a‘_n+1>1, da wenn sie 1 oder <1 wären, sie niemals durch n-Wurzelziehen in eine Zahl größer oder gleich 1 überführt werden könnten.
Nun ist für lim n->inf a‘_n^1/n nach obiger Definition trivial dass sie gegen h konvergiert. Für die verschobene Folge a‘_n+1=h^n+1 gilt dann:
lim n->inf (h^n+1)^1/n=h^(n+1/n) Der Bruch konvergiert gegen 1, die Folge konvergiert gegen h, hat also den gleichen Häufungspunkt wie a_n.
1 Antwort
Es ist eigentlich die Definition vom lim sup, dass es egal ist, ob man nun a_n oder a_(n+1) betrachtet. (Zumindest in den erweiterten reellen Zahlen)
Das sollte zumindest mal intuitiv einleuchtend sein.
Du könntest allerdings einen formalen Beweis erarbeiten, indem du das Konvergenzkriterium verwendest.
Dasselbe gilt für lim sup (nur für nicht konvergente Folgen ist a eben ein Häufungspunkt)
Aus dieser Definition sehen wir jetzt, dass falls das für a_n gilt, es auch für a_(n+1) gelten muss, da die Folge für ALLE n>N (und damit auch für n+1) gegen den Grenzwert a strebt.
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Aus deinem Beweis werde ich nicht schlau.