Wie beweise ich Abgeschlossenheit von Mengen?


13.01.2020, 16:24

ich vermute, dass die Menge abgeschlossen ist*

 - (Schule, Mathematik, Studium)

4 Antworten

Die Kurzfassung:

Nimm dir eine konvergente Folge (z_n) mit |z_n| >= 6, die gegen irgendein z konvergiert. Falls |z| >= 6 ist, gibt es nicht zu zeigen.

Ansonsten definiere a := 6 - |z| > 0. Per Voraussetzung gilt für hinreichend große Indizes n die Ungleichung |z - z_n| < a. Aber es gilt stets:

|z - z_n| >= ||z| - |z_n||

= |z_n| - |z|

>= 6 - |z|

= a,

im Widerspruch zu |z - z_n| < a.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathestudium
Annehmen, dass es eine konvergente Teilfolge a_n gibt, mit 6>=|a_n| f.a. n∈N und die gegen a konvergiert mit a∈{z∈C:|z|<6}. Wie führe ich das dann zum Widerspruch?

So einfach ist das nicht. Du mußt schon ZEIGEN, dass die gegen ein z mit |z| < 6 konvergiert, d.h. du mußt eine solche Folge explizit angeben oder wenigstens zeigen dass sie existiert. Ich vermute aber du wirst nichts finden. Meine Erfahrung ist dass >= oder <= ein starker Hinweis für Abgeschlossenheit ist.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

äh, hab mich verschrieben. Ich vermute, dass die Menge abgeschlossen ist. Deshalb wollte ich annehmen, dass sie nicht abgeschlossen ist, also so eine Teilfolge wie oben beschrieben existiert. Und dann würde ich halt versuchen auf einen Widerspruch zu kommen, also das so eine Teilfolge nicht existiert.
Edit: wie genau zeigt man das?

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@1AnonymerTyp

Du kannst entweder das mit dem Komplement machen, wie ich geschrieben habe, oder zeigen, dass es Bälle gibt, wo z ein Element aus der Menge ist, aber der ε-Ball um z nicht vollständig in der Menge liegt

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@1AnonymerTyp

Nun, nimm eine Folge z_n mit |z_n| >= 6, die gegen z konvergiert und nimm an |z| < 6. Dann gibt es auch ein epsilon > 0, so dass |z + epsilon| < 6. Nun versuche mal |z-n - z| < epsilon zu bekommen.

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@DerRoll

Das ist genau die Stelle an der ich nicht weiterkomme.
Es gilt doch für beliebig viele z_n, dass |z_n-z|>epsilon ist und deshalb kann es so eine Folge nicht geben, also muss die menge abgeschlossen sein.

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@1AnonymerTyp

Genau. Daher ist die Voraussetzung |z| < 6 nicht haltbar. |z| ist damit >= 6, daher liegt z auch in der Menge und damit ist die Menge abgeschlossen.

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@DerRoll

und die Begründung ist so ausreichend? Ich fühle mich da immer so unsicher und traue mich dann nicht das aufzuschreiben...

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@1AnonymerTyp

Ich bin kein Tutor und meine Studienzeit liegt 30 Jahre zurück. Aber ich würde sagen ja.

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Vielleicht hattet ihr so einen Satz wie: Eine Menge M ist abgeschlossen in X, wenn das Komplement von M, also X/M, offen ist

so einen Satz hatten wir leider nicht.

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Wozu denn eine Teilfolge wählen, wenn die Folge nach Voraussetzung konvergent sein soll?

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

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