Grenzwert einer Folge mit Fakultät und n-Potenz

Hey :)

Muss den Grenzwert folgender Folge bestimmen.

a_n := {3n^4+n^n}/{5^n+/(4^n*n!)}

Mein erster Ansatz ist es die Folge nach oben abzuschätzen dadurch, dass ich das 5^n im Nenner weglasse, sodass ich dann auf {3n^4+n^n}/{4^n n!} komme.

Aber wie kann ich dann weitermachen?

Answer 1

[kreisfoermig]

Behauptung. 2^(2n)·n! : n^n —> etwas ≠ 0 (ich denke! dass muss ich noch beweisen)

Falls das gilt, dann…

Folgerung.

• {3n^4+n^n} : {5^n+ (4^n*n!)}
  • = (1+3:n^(n–4)) : (2^(2n)·n! : n^n + ((n:5)^(n:5))^(-5))
  • —> (1+0) : (etwas + 0) = 1:etwas (von oben)

Comments

[kreisfoermig]

Die Behauptung war nicht ganz richtig.

Behauptung´. (4^n)·n!:n^n —> +∞

(Siehe unten für den Beweis.)

Folgerung.

• {3n^4+n^n} : {5^n+ (4^n*n!)}
• = {1+3:n^(n–4)} : {4^n·n! : n^n + 1:((n:5)^n)}
  • Zähler —> 1+0
  • Nenner —> +∞ + 0 = +∞
• Daher: a[n] —> 0 (weil „1:∞“)

---

Beweis der neuen Behauptung.

• n! = ∏[k=1 bis n] aus k
  • = ∏[k=1 bis n] aus exp(log(k))
  • = exp(∑[k=2 bis n] aus log(k))
• ∑[k=2 bis n] aus log(k)
  • = ∑[k=2 bis n] aus log(k)·1
  • = ∑[k=2 bis n] aus ∫[x=k-1 bis k] aus log(k) dx
  • > ∑[k=2 bis n] aus ∫[x=k-1 bis k] aus log(x) dx
  • = ∫[x=1 bis n] aus log(x) dx
  • = [xlog(x)-x] x = 1 … n
  • = [nlog(n)-n]-[0-1]
  • = nlog(n)-(n-1)
• Also n! > exp(nlog(n)-(n-1))
  • = (n^n):exp(n-1)
• Also (4^n)·n!:n^n > 4^n:exp(n-1) = e·(4:e)^n
• Taylor: e = exp(1) = 1:0!+1:1!+1:2!+ (1:3!)·exp(ξ), für ein ξ∈]0;1[
  • Daher, exp(ξ) < exp(1)=e
  • also, e < 2,5 + e:6
  • also, 6e < 15 + e ==> e < 15/5 = 3
• Also (4^n)·n!:n^n > e·(4:e)^n ≥ e·(4:3)^n —> +∞
• Daher (4^n)·n!:n^n —> +∞

W.z.z.w.

Answer 2

[Spielkamerad]

Hallo !

Meinst du jetzt -->

(3 * n ^ 4 + n ^ n ) / ( 5 ^ n + (4 ^ n * n !))

oder meinst du -->

(3 * n ^ 4 + n ^ n ) / ( 5 ^ n / (4 ^ n * n !))

Diese komische Aneinanderreihung +/ bei dir oben irritiert !!!, was soll das denn sein ?

Welcher der beiden Ausdrücke ist es denn nun ???

Answer 3

[MatheProf]

hat jemand einen ansatz?