Wie funktioniert die vollständige Induktion um den Grenzwert einer Folge zu bestimmen?
Man muss für folgende Folge den Grenzwert von n -> unendlich ausrechnen. Ich verstehe nicht warum man da die vollständige Induktion benutzt und wie die jeden Schritt durchführen. Kann mir jemand da weiterhelfen?
3 Antworten
Im vorliegenden Beweis wurde keine vollständige Induktion benutzt.
Es wurde an einer Stelle die Ungleichung n ≤ 3ⁿ für alle n ∈ ℕ genutzt. Und es wurde darauf hingewiesen, dass diese Ungleichung beispielsweise mit vollständiger Induktion bewiesen werden kann. Der Beweis dieser Ungleichung wurde jedoch nicht ausgeführt. Der Beweis ist aber nicht allzu schwer. Versuch es doch als Übungs selbst einmal die Ungleichung n ≤ 3ⁿ für alle n ∈ ℕ mit vollständiger Induktion zu beweisen. (Hier ein möglicher Beweis zum Vergleich: https://i.imgur.com/qNscD0P.png) (Der Beweis wurde wohl nicht ausgeführt, um die Lösung kurz zu halten. Ich würde aber sagen, dass man die Ungleichung im Rahmen einer Übungsaufgabe oder Klausur zeigen sollte.)
Für den Beweis, dass bₙ gegen 3 konvergiert hat man hier einerseits bₙ nach unten durch 3 abgeschätzt und andererseits auch nach oben durch 3 (im Grenzfall) abgeschätzt. Die einzige Zahl die zugleich größer oder gleich 3 ist und kleiner oder gleich 3 ist, ist 3. Daher ist der Grenzwert 3. Der Satz, der hier verwendet wurde nennt sich Einschnürungssatz bzw. Sandwich-Satz.
Für die Abschätzung nach unten hat man genutzt dass 2ⁿ ≥ 0 und n ≥ 0 für alle n ∈ ℕ ist (und dass die n-te Wurzel eine monoton steigende Funktion ist). Damit ist dann...
Für die Abschätzung nach oben hat man einerseits 2 ≤ 3 und damit 2ⁿ ≤ 3ⁿ für alle n ∈ ℕ verwendet, und andererseits n ≤ 3ⁿ für alle n ∈ ℕ (was man ja, wie zuvor angesprochen, beispielsweise mit vollständiger Induktion zeigen kann) verwendet.
Da steht ja auch kein „=“ an der Stelle bzw. wird auch kein Grenzwert gebildet. Sondern da steht ein „≤“. Und das passt dann, da „0 ≤ 2ⁿ“ und „0 ≤ n“ für alle n ∈ ℕ ist.
Dazu hatte ich auch in meiner Antwort bereits geschrieben:
Für die Abschätzung nach unten hat man genutzt dass 2ⁿ ≥ 0 und n ≥ 0 für alle n ∈ ℕ ist (und dass die n-te Wurzel eine monoton steigende Funktion ist). [...]
Am Ende könnte man dann für den Sandwich-Satz sagen, dass man die Folge nach unten durch 3 abgeschätzt hat, und 3 dann für n gegen unendlich gegen 3 konvergiert.
Die vollständige Induktion beweist nicht den Grenzwert, sondern die Behauptung, dass gilt: n≤3^n für alle n∈ℕ.
In diesem Beweis wird überhaupt keine vollständige Induktion verwendet. Es muss aber die verwendete Aussage n < 3^n bewiesen werden. Um das zu zeigen wird vollständige Induktion vor geschlagen.
Und wie kommt man auf die Aussage, einfach so? und muss man davor mit der vollständigen Induktion die Aussage beweisen oder kann man die einfach so angeben?
ich verstehe nicht warum man annimmt das 2^n und n gleich null sind, wenn n -> unendlich geht werden die doch nicht null?