Was sind Folgen und Grenzwerte (Mathe, Oberstufe)?
Ich bin jetzt in die 11. gekommen und bin total durcheinander mit dem neuen Thema
Und zwar machen wir Folgen und Grenzwerte von Folgen
Ich verstehe gar nicht was das alles bedeutet und auf youtube finde ich keine hilfreichen videos
Wäre super wenn jemand mit beispielen einfach erklären würde
1 Antwort
Zahlenfolgen kann nach Lust und Laune willkürlich definieren. Gemeinsam ist allen Zahlenfolgen nur, dass ihre Elemente nummeriert sind. Jede Zahlenfolge hat ein erste, ein zweites, ein drittes Element und so weiter. Manche Leute beginnen die Nummerierung der Elemente einer Zahlenfolge auch mit Null, aber schulüblich ist wohl eher die Nummerierung ab 1.
Ihr werdet im Unterricht viel Zeit darauf verwenden, euch zu überlegen, wie sich die Werte einer Zahlenfolge entwickeln, wenn mann immer mehr Elemente betrachtet. Da kann man sich verschiedene Entwicklungen ausdenken:
- Folgen, deren Werte über ale Grenzen anwachsen
- Folgen, beiden sich die Werte ihrer Elemente "irgendwann" fast nicht mehr ändern
- Folgen, bei denen sich einige wenige Werte wiederholen.
Ohne dem Schulunterricht allzuweit vorzugreifen, gebe ich dir für jeden dieser Fälle ein Beispiel:
Beispiel 1:
Das Folgenelement mit der Nummer n soll sein: n^2, als Formel geschrieben:
Die ersten Elemente dieser Folge sind: 1, 3, 9, 16, 25. Die Elemente werden also sehr schnell größer und verschwinden rasch ins unendliche. Übrigends wachsen die Elemente der Folge
noch schneller an als jene der Folge a[n]. Ihr werdet lernen, dass die Folgen a[n], b[n] nicht gegen einen endlichen Grenzwert streben.
Beispiel 2:
Für dieses Beispiel nehmen wir die Zahl 2 und addieren für das Element mit der Nummer n noch den Bruch 1/n. Als Formel:
Die ersten Elemente dieser Folge sind 3 - 2,5 - 2,3333 - 2,25 - 2,2. Die Elemente dieser Folge werden nicht beliebig groß, sondern bleiben beschränkt. Mehr noch, für große n unterscheiden sich die Folgeelemente nur noch sehr geringfüging von 2. Für diese Folge werdet ihr lernen, dass ihre Elemente tatsächlich gegen den Grenzwert 2 streben.
Beispiel 3:
Hier legen wir fest, dass die Elemente der Folge durch diese Formel berechnet werden:
Die ersten Elemente dieser Folge sind -1, 1, -1, 1, -1, 1
Man überlegt sich leicht, dass andere Werte garnicht vorkommen hönnen. Die Elemente dieser Folge verschwinden nicht sonstwohin, sie nähern sich aber auch nicht an einen einzigen Zahlenwert an. Sie "pendeln" zwischen zwei Zahlen hin und her. Über diese Folge werden ihr sagen, dass sie zwei Häufungspunkte, aber keinen Grenzwert hat.
Alle weiteren Einzeiheiten zu diesem spannenden Thema gibt es in den kommenden Wochen im Schulunterricht. Bitte zögere nicht, hier zu stellen, wenn dabei Fragen auftreten.