Mathe:Unterschied zwischen Grenzwert und Beschränktheit von (Zahlen-)Folgen? : (
Hilfe ich schreibe am Mittwoch Mathe und lerne seit Stunden,aber ich kapiere NICHTS.Überhaupt nichts.Ich komme von selber einfach nicht drauf.Es ist nicht nur so,dass ich nicht herausfinden kann,ob eine Folge beschränkt ist oder einen Grenzwert hat,ich weiß nicht mal den Unterschied zwischen den beiden?Was ist denn der Unterschied zwischen Beschränktheit und Grenzwert von Folgen? Bitte bitte Hleft mir!!
3 Antworten
Das eine ist mehr eine qualitative Eigenschaft (eine Foilge ist beschränkt oder sie ist eben nicht beschränkt), das andere eine quantitative Eigenschaft (Die Folge ha teinen Grenz wert von soundso). Also: Beschränkteheit hat als Eigenschaft noch gar keine "richtige" Aussage über die Folge. Es wird eben nur qualitativ gesagt, dass die Folge nicht bis ins unendliche geht. Auch wenn die Schranke(n) konkret angegeben wird, ist das noch nicht unbedingt dasselbe, wie ein Grenzwert: Denn eine Schranke sagt eben auch erst mal als reine "ja /nein"- Aussage, dass dieser eine Wert nicht überschritten wird: Wenn du also eine obere Schranke von 100 hast, dann heißt das, dass kein Folgenglied über diese 100 hinausgeht. Es heißt aber noch lange nicht, dass jemals ein Folgenlied 100 erreicht oder nur in die Nähe kommt. Also vielleit ist das größte Folgenglied 0,00002, und hat damit noh einen großen Abstand zu der Schranke. Das Ganze hat eben einfach den Sinn, weil man macnhmal den maximalen Folgenwert nicht berechnen kann (oder zumindest nicht einfach berechnen kann), aber durch eine Abschätzung leicht eine obere Schranke angeben kann, was oft schon ausrecihend ist.
Entspreechend ist eben ein Grenzwert Ein konkreter Wert, der zwar auch nicht unbedingt erreicht werden muss, aber dem sich die Funktion auf jeden Fall "beliebig nahe" annähert. Also: Wenn du einen Grenzwert hast, dann kannst du einen sehr kleinen Abstand vorgeben, du wirst (egal, wie klein du den Abstand machst) immer einen Folgenwert finden, ab dem ALLE Folgenglieder zum Grenzwert einen kleineren Abstand haben als der vorgebenene (Das ist ja dann auch das, was das epsilon-deslta-Kriterium sagt).
Damit geben sich natürlich einige ganz gewaltige Unterschiede zwischen einer Schranke und einem Granzwert:
Es kann immer nur einen Grenzwert geben, Schranken kann es dagegen auch zwei geben (Kann abgeschwächt werden, wenn man statt einem Grenzwert Häufungspunkte sucht, sofern dir das was sagt).
Eine Schranke ist wiklich eine Schranke, d.h. da geht kein Wert der Folge drüber bzw. drunter. Bei einem Granzwert kann die Folge auch drumherum oszillieren. (also mal größer, mal kleiner sein)
Bei einer Schranke ist nicht gesagt, wo die Folge den kleinsten Abstand zur Schranke annimmt: Das kann ganz Am Anfang , "inder Mitte", oder eben für unendlich viele Folgenglieder sein. Bei einem Grenzwert wird dagegen der Abstrand immer kleiner, d.h. für "unendlich viele" Folgenglieder muss man dann auch auf dem Grenzwert landen.
Und eben das vorher gesagte: Eine Schranke ist im Allegmeinen nur eine Abschätzung, ein Grenzwert ist dagegen ein konkreter Wert, dem sich die Funktion auch beliebig nahe annähert.
Das zuletztgennnte trifft nur dann nicht zu, wenn man eben eine "kleinste obere" Schranke oder eine "größe untere" Schranke finden will. Das ist damit auch mehr als eine grobe Abschätzung, nämlcih injedem Fall eine ziemlich genaue Abschätung, weshalb man das dann auch nicht mehr unbedingt als Schranke sondern als superior bzw. inferior bezeichnet. Weiß nicht, ob das überhaupt für sich relevant ist.
Hallo! Ich hatte die gleiche Frage und die Antworten haben mir schon sehr geholfen. Ich habe es so verstanden, dass also wenn wir eine Schranke haben, z.b. als untere Schranke -2 dann kann der Grenzwert für n-> -unendlich nicht -unendlich sein da das ja unter der Schranke liegen würde, ist das richtig? Ich habe hier eine Aufgabe, dazu und verstehe nicht wieso als untere Grenze -2 rauskommen kann und der lim n->-unendlich trotzdem -unendlich ist, ist da vielleicht irgendwo ein Denkfehler drin? http://www.mathelounge.de/286837/welche-angegebenen-folgen-beschrankt-beschrankt-beschrankt?state=comment-286874&show=286874#a286874
beschränkt heißt, dass die werte der folge eine grenze nicht übeschreiten. das muss aber noch nicht bedeutet, dass diese grenze der grenzwert ist.
beispiel: die folge sei sinus (n*pi/2)
die folge hat dann die werte (n0=0 soll der anfang sein) (0,1,0,-1,.... etc) (das wiederholt sich) beschränkt ist diese folge nach oben durch +1 und nach unten durch -1. aber es hat keinen grenzwert. (denn es wiederholt sich periodisch, also gibt es keine grenze.. welche der 3 zahlen 0 -1 und 1 soll denn auch die grenze sein? das kann man sich nicht einfach aussuchen.)
was ist ein grenzwert? das ist der wert, den die folge anstrebt, wenn man n immer größer werden lässt.
beispiel: die folge 1/n (n0=1 ist diesmal der anfang) hat die werte (1,1/2,1/3 ... etc.). diese folge ist nach oben durch +1 beschränkt und nach unten durch 0 (der quotient 2er positiver zahlen kann nie negativ werden). diese folge strebt für n gegen unendlich sogar gegen einen festen wert (im gegensatz zur obigen folge), nämlich 0.
der grenzwert muss aber keinesfalls etwas mit den werten der beschränkungen zu tun haben.
beispiel: die folge sei sin(n*pi/2)/n (n0=1) die werte sind (1,0,-1/3,0,1/5,0,-1/7... etc)...die schranken sind von oben 1 und von unten -1/3 , aber der grenzwert ist die zahl 0. (zwischen den beiden schranken).
anmerkung: ich habe hier immer jeweils die kleinste obere schranke und die größte untere schranke angegeben.
beispiel: folge 1/n ist zwar von oben durch 1 beschränkt, aber AUCH von oben durch 2 beschränkt. (1 beschränkt die folge "knäpper", aber 2 beschränkt auch trotzdem!)
dahingegen ist der grenzwert eindeutig, oder existiert nicht, falls die folge divergiert.
beispiel: folge sei n (n0=0).. werte sind dann (0,1,2,3,4......) also geht die folge gegen unendlich (sie wird in gleichmäßigen schritten immer stes größer)