Was ist der Unterschied zwischen Konvergenz, Grenzwert und Beschränktheit und gibt es ein Grenzwert von Unendlich bei einer Geraden?
Alle 3 beschreiben ja gegen was die Funktion/der Graph strebt oder nicht?
Und noch eine Frage, wenn man eine Gerade(steigend) hat ist der Grenzwert dann Unendlich?
2 Antworten
Hallo,
mit Konvergenz bezeichnet man ein bestimmtes Verhalten bestimmter mathematischer Objekte, wie z.B. Zahlenfolgen und Funktionen (das sind wohl die bekanntesten).
Eine Zahlenfolge ist konvergent, wenn ihre Folgenglieder einem Wert beliebig nahe kommen (ungenaue Definition. Wer sich für eine genaue Definition interessiert: siehe Grenzwert Zahlenfolge). Diesen Wert nennt man Grenzwert.
Auch bei Funktionen ist die Konvergenz ein bestimmtes Verhalten: wenn f(x) einem Wert g beliebig nahe kommt, sobald x sich einer Zahl a genügend nähert, spricht man von Konvergenz. Der Wert g wird dann als Grenzwert bezeichnet (für eine genaue Definition siehe Grenzwert Funktion)
Konvergenz ist also ein bestimmtes Verhalten von Zahlenfolgen oder von Funktionen. Der Grenzwert ist der Wert, dem eine Zahlenfolge oder eine Funktion beliebig nahe kommt, oder noch ungenauer gesagt ist der Grenzwert das Ergebnis dieses bestimmten Verhaltens.
Die Beschränktheit einer Zahlenfolge oder einer Funktion bedeutet, dass die Glieder der Zahlenfolge oder die Funktionswerte der Funktion einen bestimmten Wert nicht über- oder nicht unterschreiten.
gibt es ein Grenzwert von Unendlich bei einer Geraden?
Ich lasse zunächst "bei einer Geraden" weg und beantworte die Frage
gibt es ein Grenzwert von Unendlich
Die Frage ist berechtigt, weil man oft folgendes liest:
Das lim steht für limes und bedeutet Grenze, Grenzwert.
Diese Schreibweise suggeriert, dass +Unendlich ein Grenzwert sei. Unendlich ist aber kein Wert, keine Zahl, also ist diese Schreibweise streng genommen nicht korrekt. Man benutzt sie aber trotzdem, um ein bestimmtes Verhalten von Funktionen in knapper Form zu kennzeichnen. Das Verhalten ist:
f(x) nimmt beliebig große Werte an, wenn x sich der Zahl a genügend nähert.
In dieser unkorrekten Schreibweise wird also wieder ein bestimmtes Verhalten einer Funktion f gekennzeichnet. Das Resultat dieses Verhaltens ist hier aber kein Wert, keine Zahl (weil "beliebig groß" keine Zahl ist), im Gegensatz zum "richtigen" Grenzwert. Ich finde es nicht verwunderlich, dass man dadurch verwirrt werden kann.
Nun noch ein paar Worte zur Geraden:
gibt es ein Grenzwert von Unendlich bei einer Geraden?
Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion f(x) = ax + b .
Es gibt hier zwei Möglichkeiten:
- entweder gilt a = 0 , dann ist Graph(f) eine waagerechte Gerade (sie hat die Steigung Null), d.h. sie liegt parallel zur x-Achse. In dem Fall gilt f(x) = b für jedes x.
- oder es gilt a ≠ 0 , dann hat die Gerade Graph(f) eine positive oder negative Steigung. In dem Fall strebt f(x) gegen plus oder minus Unendlich, wenn x gegen plus oder minus Unendlich strebt.
Und noch eine Frage, wenn man eine Gerade(steigend) hat ist der Grenzwert dann Unendlich?
Ja, richtig. Liegt eine steigende Gerade vor - das ist der Fall a > 0 ,
ist das die Möglichkeit 2. In dem Fall gilt
Ich hoffe, ich habe dich nicht noch mehr verwirrt.
Gruß
Alle 3 beschreiben ja gegen was die Funktion/der Graph strebt oder nicht
Nein, das ist falsch.
Konvergenz ist die Bedingung für das Vorliegen eines Grenzwerts. Wenn eine Folge nicht konvergiert, so existiert kein Grenzwert.
Im formalen Sinne spricht man, wenn etwas gegen unendlich läuft, nicht von Konvergenz, sondern von 'bestimmter Divergenz gegen unendlich'.
Beschränktheit ist relativ stark von den beiden anderen abgekoppelter Begriff. Nicht jede beschränkte Folge konvergiert.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Beste Grüße
Hans Dieter
Eine Folge, die beschränkt ist, aber nicht konvergiert ist z.B. a_n = (-1)^n.
Nach unten ist diese Folge durch -1, nach oben durch 1 beschränkt.