Warum strebt der Grenzwert gegen 0 obwohl ich unendlich habe?
n*q^n strebt für n - > 0,falls |q|<1, aber wieso obwohl da ein n vorne ist?
2 Antworten
q^n geht schneller gegen 0, als n gegen unendlich geht. Exponentielles Wachstum und so.
Bei einer Klausur musst du es natürlich korrekt beweisen.
Das könnte man mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium zeigen und das funktioniert auch für (nᵏqⁿ) mit beliebigen k ∈ ℕ.
Der Bruch geht gegen 1. Das kann man durch Anwendung des binomischen Lehrsatzes, Kürzen von nᵏ und mit den Grenzwertsätzen zeigen. Der gesamte Ausdruck geht also gegen |q|. Der Betrag wird also ab einem Folgenglied immer mindestens um einen Faktor q' mit q' < 1 kleiner. Aus der Konvergenz der geometrischen Folge (q'ⁿ) folgt dann auch die Konvergenz der gegebenen Folge.
Alles klar, aber wieso ist der Wert 0? Weil das bekommt man ja nicht unbedingt aus dem Quotientenkriterium raus, oder?
Die Reihe würde konvergieren. Nach dem Nullfolgenkriterium muss die Folge eine Nullfolge sein.
Ist diese Begründung gehnemigt in einer Uni Klausur oder müsste man da anders vorgehen