Bei der Ordinalskala kannst du nur bestimmen, ob etwas größer, kleiner oder gleich etwas anderes ist.

Beispiel: T-Shirt Größen, die mit S, M, L, ... Usw angegeben werden, die Größe L ist größer als M.

Bei einer metrischen Skala kann zusätzlich gemessen werden, um wie viele Einheiten ein Objekt größer als das andere ist. (Beispiel: Körpergrößen in cm, jemand der 180cm groß ist, ist 10cm größer als jemand, der 170cm groß ist.

Tipp: Versuche erst eine Rationale Funktion zu finden, die keine Polstelle hat, und die gegen 0 geht, wenn x gegen unendlich bzw -unendlich geht.

Passe die Funktion dann durch verschieben und strecken so an, sodass sie die genannte Eigenschaften erfüllt.

Du brauchst hier kein L'Hospital, Oben hast du den Fall -unendlich - unendlich, der Grenzwert ist also -unendlich.

Unten ist 0+unendlich, der Grenzwert ist also unendlich.

L'Hospital wäre zum Beispiel anwendbar, wenn du den Fall unendlich- unendlich hast

Kann es sein, dass du das kongruenzzeichen statt = meinst? (Also 3 Striche)

Per Definition gilt, dass a und b kongruent bezüglich mod n sind, wenn a-b durch n teilbar ist.

Hier ist 12-27 = -15, also durch 5 teilbar und somit sind 12 und 27 kongruent bzgl mod 5

{a } hier fehlt ein einzelnes b. Oder ist dieses {a} eigentl. schon in der 2 Reihe dabei?

a ist in der zweiten klasse

Die dritte Klasse stellt alle wörter x da, für die es unmöglich ist, ein Suffix y zu finden, sodass xy in der Sprache ist. Zum Beispiel das Wort aa, da du nichts dranhängen kannst, sodass es akzeptiert wird.

Das Beispiel ist aber sowieso fehlerhaft, denn es gibt noch eine 4. Klasse: {Epsilon}

da Epsilon nicht akzeptiert wird, kann es nicht in der ersten Klasse sein.

Wenn du an Epsilon b anhängst (oder bab, babab usw) wird es auch nicht akzeptiert, also kann es nicht in der zweiten Klasse sein.

Wenn du ab anhängst, wird es akzeptiert, also kann es nicht in der dritten Klasse sein. Es muss also eine eigene Klasse bilden.

Wir haben somit 4 Klassen.

Zwei wörter x, y sind genau dann Inder selben Klasse bezüglich der Myhill-Nerode relation, wenn für jedes Wort z gilt, dass xz genau dann in der Sprache ist, wenn yz in der Sprache ist.

Epsilon ist in keiner der beiden anderen anderen Klassen, weswegen es als Repräsentant einer dritten Klasse sein muss.

Und es werden alle Klassen benötigt, für die es mindestens ein Suffix gibt, welches zu einem akzeptierenden Zustand führt, um damit dann den minimalen Automaten bilden zu können.

Anderes Bsp. Sprache ist wieder regulär

Nein ist sie nicht. Das sieht man daran, dass die Sprache unendlich viele Aquivalenzklassen hat.

Warum berücksichtig man jetzt hier in dem Bsp. nicht epsilon selbst als Äquivalenzklasse, wie in dem Bsp. zuvor

Das ist so oder so keine vollständige Auflistung, da die Klasse a, die Klasse aa, die Klasse usw fehlt.

Tipp: Mit der Spur und der Determinante kannst die Eigenwerte der Matrix bestimmen.

Überlege dir zuerst, welcher Zusammenhang zwischen Eigenwerte, Spur und Determinante vorliegt

Angenommen die Eigenwerte sind a und b.

Betrachten das Polynom (x-a)(x-b), welches die Nullstellen a und b hat. Multiplizieren es aus, dann sollte dir was auffallen.

Ich habe einen Befehl gefunden (sample.int(length(x), size, replace, prob)) habe aber keine Ahnung ob der richtig ist und was ich jeweils einsetzen muss.

sample erzeugt eine Stichprobe. Das bringt dir hier also nichts.

Zu 13: zähle wie viele Männer vorkommen und Teile das Ergebnis durch 1000

Zu 14: Zähle die Anzahl der Frauen mit blauen Augen, und Teile das Ergebnis durch 1000

fakul(4) = 4 * fakul(3) da 4≠1

fakul(3) = 3* fakul(2) da 3≠1

fakul(2) = 2*fakul(1) da 2≠1

fakul(1) = 1, da 1 = 1

Wenn du somit die Ergebnisse von unten nach oben einsetzt, erhälst du 4*3*2*1 = 24

Bei der Normalverteilung (auch bei der Stanardmodalverteilung) stimmen Modalwert, Mittelwert und Median überein. Das liegt daran, dass die Dichte der Verteilung Symmetrisch zum Erwartungswert ist, und dir Dichte dort den höchsten Wert hat.

Du kannst ja hier nachschauen, was damals in den Aufgaben vorkam:

https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/aufgaben/aufgabenarchiv-2?view=aufgabenarchiv

Es ist sinnvoll, wenn du dir paar Geometrische Sätze anschaust, da es meist mindestens eine Geometrie Aufgabe geben wird, wo du die benötigen wirst. Bei den anderen Aufgaben sollte es reichen, wenn du fit bist, mathematische zusammenhänge zu erkennen, da ansonsten nicht so viel wissen gefordert wird. Es schadet aber nicht, wenn du dir nochmal unter anderem anschaust, wie man Gleichungssysteme löst oder wie die Teilbarkeitsregeln aussehen.

Das ist auch nicht ganz trivial, und benötigt ein wenig lineare Algebra. Unter gewissen Bedingungen gilt nämlich, dass 1 ein Eigenwert mit einfacher vielfachheit ist, und dass alle anderen Eigenwerte Betragsweise echt kleiner als 1 sind.

Aus diesen Eigenschaften folgt dann, dass der Prozess gegen eine stationäre Verteilung konvergiert.

Der Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist dann die stationäre Verteilung.

Die Relation ist reflexiv, kann es sein, dass du meinst, dass sie nicht transitiv ist?

Versuche ein Gegenbeispiel zu finden.

Finde also ganze Zahlen a, b, c, sodass a*b>=0 und b*c >= 0 gilt, wobei jedoch a * c < 0 gilt.

Einfach die h-Methode durchführen:

f(0+h) = h * |h| + h

f(0+h)/h = |h| + 1

Wenn man nun h gegen 0 laufen lässt, kommt 1 raus, die Ableitung ist also 1.

Aus der Karteisachen form kannst du den normalen Vektor ablesen.

Die beiden richtungsvektoren müssen orthonal zum normalen Vektor sein. Damit kannst du n und m bestimmen.

Der Aufpunkt muss die Karteisache Gleichung erfüllen, wenn man ihn einsetzt. Damit kannst du k bestimmen.

Die höhe soll nicht 11/150 sein, sondern 11/(20*150) (es soll ja auch durch die Anzahl der Werte geteilt werden)

Das ist ungefähr 0.004 (bzw 0.003 Periode 6)

Also ungefähr 0.4 * 10^-2

Wenn du oben links vom Diagramm nachschaust, siehst du auch, dass da noch der Faktor 10^-2 hinkommt. Also passt das Bild ungefähr

Was ist X (in dem Fall)?

Eine Binomialverteilt Zufallsvariable, mit den Parametern n und p.

Wie muss ich dies über die Formel mit der Summe lösen?

Gar nicht. Du weißt dank des Satzes, dass die Summe Binomialverteilt ist. Somit kannst du die Wahrscheinlichkeit mit der Formel der Binomialverteilung berechnen.

Die empirische Verteilungsfunktion gibt an der Stelle x an, wie viele Werte kleiner oder gleich x sind.

An den Sprungstellen kannst du also ablesen, welche Werte angenommen werden, und an der sprunghöhe kannst du ablesen, welcher Anteil diesen Wert annimmt.

An 0 ist zum Beispiel ein Sprung von 0 zu 0.5, also haben 50% der Daten den Wert 0. Die 0 kommt also 5 mal vor.

Wann sind zwei Elemente aus S verschieden?

Die sind verschieden, wenn die nicht gleich sind. Die sind gleich, wenn jeder Eintrag der beiden jeweils übereinstimmt. Wann sind also zwei Elemente unterschiedlich?

Zeigen Sie: S ist nicht abzählbar.

Nimm an, dass S abzählbar ist, es gibt also eine Nummerierung die alle Elemente aus S enthält. Konstruiere nun ein Element aus S, welches ungleich wie jedes nummerierte element aus S ist. S kann somit nicht abzählbar sein.

lim sup soll ja der größte Häufungspunkt sein

... Wenn die Folge nach oben beschränkt ist. Da deine Folge nicht nach oben beschränkt ist, ist der limsup unendlich.

Denn sup({a_k | k>= n} ) ist hier offensichtlich für jedes n unendlich, wenn man n gegen unendlich laufen lässt kommt also unendlich raus.