Warum nicht normalverteilt?
Wenn X und Y normalverteilt sind, dann muss (X,Y) nicht normalverteilt sein. Woran liegt das? Man kann ja z.B X=Y nehmen, dann liegt doch (X,Y) auf einer Geraden y=x. Aber ich seh nicht anhand der Verteilungsfunktion, dass dann (X,Y) nicht normalverteilt ist.
2 Antworten
Nehmen wir erst zwei unabhängige zweidimensionale Zufallsvariablen A und B, die beide den Mittelwert 0 haben.
A hat die Kovarianz Matrix
1 0.5
0.5 1.
B hat die Kovarianzmatrix
1 -0.5
-0.5 1.
Was auffällt, ist, dass bei A und B jeweils beide Randverteilungen standardnormalverteilt sind (da dir Randverteilung nur von dem jeweiligen Eintrag der Hauptdiagonalen der Kovarianzmatrix abhängt).
Nehmen wir noch zusatlich noch die Zufallsvariable C, welche Bernoilliverteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0.5 ist, und unabhängig von A und B ist.
Definiere nun (X, Y) = C*A + (1-C)*B
(Also nehmen wir mit einer Wahrscheinlich von 0.5 die Zufallsvariable A und sonst B)
(X, Y) Ist nicht normalverteilt, denn die Dichte hat die Form von einem Kreuz.
X und und Y, also die beiden Randverteilungen sind aber Standardnormalverteilt, da die Randverteilungen von A und B wie gesagt beide Standardnormalverteilt sind.
Wir haben somit ein Gegenbeispiel.
Es gibt die Eigenschaft, dass affine Transformationen von Normalverteilungen normalverteilt sind.
Die erste Komponente von A kann man bekommen, wenn man A mit der Matrix M = (1, 0) multipliziert.
Aufgrund der Linearität des Erwartungswertes und der Kovarianz ist ist der Erwartungswerr M*mu (also 0, da mu = 0) und die Kovarianzmatrix ist M*Sigma*M^t, (also 1) und somit Standardnormalverteilt.
Bei der zweiten Komponente ist es ähnlich, jedoch mit der Matrix (0, 1)
Wenn du X und Y koppelst, also X=Y setzt, dann ist die Verteilung des Vektors (X,Y) auf alle Punkten ausserhalb der Winkelhalbierenden gleich Null. Der Vektor kann dann nicht 2-dimensional normalverteilt sein. Schau dir die von dir angesprochene Dichte mal genauer an.
Es entspricht trotzdem einer allgemeinen Normalverteilung, da diese per Definition die Form Y = AX + mu hat, wobei bei X jede Komponente iid N(0, 1) verteilt ist, und A eine beliebige, nicht unbedingt Symmetrische Matrix ist.
Das wäre dann zwar ein singulärer Fall, aber trotzdem eine (allgemeine) Normalverteilung
Ich verstehs leider nicht, wie man darauf kommt, dass der Vektor nicht 2-dimensional normalverteilt sein kann.
Ich versteh nicht, wieso bei A und B jeweils beide Randverteilungen standardnormalverteilt sind.