Wieso ist das positiv wenn ich die Wurzel ziehe?
Ich möchte einfach die beiden ^2 mit der Wurzel kürzen.
Das ist falsch:
das ist richtig:
wieso sind die Betragsstriche hier wichtig? Liegt das vielleicht daran; dass das was unter der Wurzel davor stand nicht negativ sein darf und man deswegen wenn man die Wurzel weg kürzt den positiven Wert, also den Betrag nehmen muss?
4 Antworten
Sind halt Mathegesetzte ;D
Das Quadrat wirkt halt zuerst und somit ist es Positiv (was auch immer da in der Wurzel steht) - und man kann es demzufolge durch Umformungen nicht negativ machen.
Das geht natürlich nur dann, wenn das Ding unter der Wurzel zu keinem Zeitpunkt negativ werden kann - Beispielsweise bei einer ganz normalen Zahl. Durch das x könnte die Klammer jedoch <0 werden, und ist somit negativ. Durch das Quadrat wird dies dann positiv und dann kannst eben die Wurzel ziehen.
Deine grundsätzliche Frage ist ja, ob immer gilt:
Spontan würde man denken, ja klar!
Aber so allgemein für ALLE reellen Zahlen a gilt das nicht, sondern nur für positive Zahlen a, oder wenn a=0.
Hintergrund ist die Definition der Quadratwurzel, dass sie niemals negative Ergebnisse liefert.
► Für positive reelle Zahlen heben sich Wurzelziehen und quadrieren gegeneinander auf.
Für a≥0 gilt immer:
► Aber wenn a<0 ist, dann gilt das nicht!
Für negative reelle a gilt:
weil das Ergebnis von Quadratwurzeln nie negativ sein darf. So ist die Quadratwurzel definiert.
► Wenn a eine beliebige reelle Zahl ist, die positiv oder negativ sein kann, dann muss man zwangsläufig Betragstriche setzen, um sicherzustellen, dass das Ergebnis niemals negativ ist.
Deshalb gilt für ALLE reellen a, egal ob postiv oder negativ:
Alles klar?
Alles klar, ja. So ähnlich habe ich es mir auch gedacht. Danke :) schöne Erklärung
Der wesentliche Punkt ist, dass
(x-3)² = (3-x)²
und
(x-pi)² = (pi-x)² gilt.
D. h. wenn du die Betragsstriche weglässt, betrachtest du jeweils nur den ersten Fall.
Damit hast du am Ende dann ja auch da stehen, dass
x - 3 = x - pi
ist, wenn du x abziehst, dann erhältst du
3 = pi, was offenbar falsch ist, die Gleichung wäre also nicht lösbar.
Du musst aber insbesondere auch den Fall
x - 3 = pi - x
Durch umformen erhältst du daraus
x = (pi-3)/2, du hast also eine Lösung! Und genau das erreichst du durch die Betragsstriche, denn
|x-3| = |x-pi|
ist ja wahr wenn entweder
(x-3) = (x-pi) oder
(x-3)= -(x-pi)
gilt.
Liese mal hier zur Eindeutigkeit der Wurzel gerader Exponenten:
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Eindeutigkeit_von_Wurzeln_aus_positiven_Zahlen
Ich habe in der Schule oft Wurzeln mit einem ^2 weg gemacht, oder eine hoch 2 mit einer Wurzel weg gemacht. Da habe ich dann aber nie Beträge benutzt?