Ist Wurzel aus 2 die kleinste positive irrationale Zahl?

Das ist die Aufgabe . Wenn es falsch ist soll man ein Gegenbeispiel nennen.

vielen Dank im voraus

Answer 1

[ChrisGE1267]

In der Standard-Analysis gibt es keine kleinste positive, irrationale Zahl, da die irrationalen Zahlen dicht in R liegen, also auch dicht um 0.

Als Gegenbeispiel zu Deiner Behauptung nimmt man einfach 0 < Sqrt(2)/2 < Sqrt(2).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 2

[DerRoll]

Es gibt zu jeder irrationalen Zahl a > 0 eine irrationale Zahl a' mit 0 < a' < a.

Ein möglicher Beweis:

Bilde die unendliche Dezimaldarstellung der irrationalen Zahl a

$a\ =\ \sum_{k=\ -\infty}^na_k\cdot10^k\ für\ n\ \in\mathbb{Z}$ Dann ist

$a'\ =\ a\ -\ a_n\cdot10^n$

eine irrationale Zahl mit der gewünschten Eigenschaft.

Bemerkung: Der Beweis enthält einen Fehler. Findest du ihn und kannst ihn beheben?

Answer 3

[tunik123]

Man kann immer eine noch kleinere positive irrationale Zahl finden.

Die Wurzel aus 0,5 ist ein solches Beispiel.

Comments

[tunik123]

Mir ist bei einigem Nachdenken ein einfacher Beweis dafür eingefallen. Nehmen wir an, es gäbe eine kleinste positive irrationale Zahl x. Dann ist x/2 auch irrational und kleiner als x. Da aber x die kleinste irrationale Zahl sein soll, geht das nicht. x/2 kann auch nicht rational sein, denn dann wäre 2*(x/2) auch rational. Das geht auch nicht. Also gibt es keine kleinste irrationale positive Zahl.

Answer 4

[Halbrecht]

Wenn man sich auf natürliche Zahlen beschränken muss : Natürlich 

.

aber so kann man weiter kommen

0.1*0.1 = 0.01

dann ist wurzel(0.02) = wurzel( (0.1)² * 2 ) = 0.1 * wurzel(2) 

und ist die irrational , oder ist sie es nicht :))

Answer 5

[Marouane243]

Ne du kannst ja auch die Wurzel von Zahlen kleiner 2 nehmen.

Woher ich das weiß: Hobby – Iwas mit Zahlen und so.