welche zahl ist am irrationalsten?

Es gibt innerhalb der irrationalen auch noch die transzendenten Zahlen. Irrational heißt ja, dass man eine Zahl nicht aus Bruch von zwei ganzen Zahlen darstellen kann, transzendent heißt, dass man sie auch nicht als Nullstelle eines Polynoms darstellen kann. Wurzel 2, Wurzel 3, Wurzel 5 und auch den goldenen Schnitt kann man als eine solche Nullstelle darstellen:

Wurzel 2 ist Nullstelle von x² - 2, Wurzel drei ist Nullstelle von x² - 3, Wurzel 5 ist Nullstelle von x² - 5 und der Goldene Schnitt ist Nullstelle von x² - x - 1.

Für Pi und die Eulersche Zahl ist dagegen gezeigt worden, dass es kein Polynom (und das heißt kein endliches Polynom) mit ganzzahligen bzw. rationalen Koeffizienten gibt, dessen Nullstelle sie wären. Und solche Zahlen nennt man transzendent.

Natürlich sind die genauso irrational wie die anderen (daher ist die Steigerung "am irrationalsten" sinnlos), aber sie sind doch noch mal besonderer als die vier anderen genannten.

Naja, Zumindest π und e sind darüber hinaus noch transzendent.

Eine Zahl ist irrational (also kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden) oder sie ist es nicht. Da kann es keine Steigerung zu geben, dass eine Zahl mehr nicht als ein Bruch dargestellt werden kann

Ein gutes Kriterium für die Komplexität einer reellen Zahl x erhält man aus ihrer (regulären) Kettenbruch-Entwicklung: Man schreibt die Zahl zunächst als Summe aus der größten ganzen Zahl, die unter ihr liegt, und dem "schäbigen Rest", der dann an der Zahl noch fehlt:

x = b + r (mit ganzer Zahl b und r im halboffenen Intervall [0,1))

(Man nennt b den ganzzahligen, r den gebrochenen Anteil von x.) So weit harmlos...

Jetzt kommt's: Gilt r=0, ist also x gleich b und damit ganzzahlig, ist man mit der Entwicklung bereits fertig. In der Regel interessieren einen aber Zahlen mit r>0. Dafür setzt man

x' := 1/r

und macht mit x' dasselbe, was man zuvor mit x gemacht hat: x' = b' + r'. Dann sieht man wieder nach, ob r'=0 gilt (dann ist man fertig), und setzt im Falle r'>0 analog zu vorher x'' := 1/r', usw. usw.

Die Zahlenfolge b, b', b'', ... heißt die reguläre Kettenbruchentwicklung von x.

Was hat das mit der Komplexität von Zahlen zu tun? Nun: Die einfachste Entwicklung haben die ganzen Zahlen (sofort fertig, wie oben beschrieben). Die nächst-einfache Entwicklung haben allgemeiner die Brüche: Denn das sind die Zahlen, bei denen irgendwann in der Entwicklung der Rest 0 auftritt. Die Quadratwurzeln (aus positiven ganzen Zahlen) haben eine Entwicklung, bei der sich ab einer bestimmten Stelle ein bestimmtes Nacheinander der a-Werte sich immer nur noch wiederholt.

Wenn so eine einfache Beschreibung nicht zu sehen ist, wird es spannend: Die beiden transzendenten Zahlen e und pi verhalten sich nach allem, was man weiß, sehr unterschiedlich bei ihrer Entwicklung:

Die Entwicklung von e erweist sich nämlich als ganz einfach beschreibbar:

2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, ...........

Du siehst sicher die schon nach dem ersten Wert 2 einsetzende Regelmäßigkeit! Dagegen hat in der Entwicklung von pi noch kein menschliches Auge jemals irgendeine Regelmäßigkeit entdeckt!! Das heißt zwar nicht zwangsläufig, dass es keine Regelmäßigkeit gibt, jedoch müsste diese dann für uns Menschen schon weit, weit verborgener sein als im Falle der Zahl e.

Beide Zahlen werden oft als "die wichtigsten Zahlen der Mathematik" angesehen. Beide sind transzendent, aber aus dem angegebenen Grund (Kettenbruchentwicklung!) gilt nach allem bisherigen Verständnis pi als noch weit komplizierter als e.

Wenn du mehr über Kettenbrüche erfahren willst, dann mach dich an den Eintrag "Kettenbruch" bei Wikipedia!

Du solltest zunächst sagen, was Du unter „irrational, irrationaler, am irrationalsten“ verstehst. Wenn Du damit beschreiben willst, wie gut sich eine reelle Zahl durch eine rationale Zahl approximieren lässt, dann:

https://de.wikipedia.org/wiki/Irrationalit%C3%A4tsma%C3%9F

PS: Wenn Du diese Definition heranziehst, sind die rationalen Zahlen mit Irrationalitätsmass 1 selbst „am irrationalsten“…🤣