Summe zweier irrationalen Zahlen immer irrational?
Meine Mathe Lehrerin stellte neulich in der Schulaufgabe der 9ten Klasse die folgende Aufgabe: "Nenne 2 Positive Irrationale Zahlen deren Summe rational ist. Begründe."
Ich kam auf den Schluss, dass dies Unmöglich sei, sie meinte es gäbe aber verschiede Ansätze und Beweise...
Aber:
die Menge der irrationalen Zahlen teilt sich in solche, die als Wurzel oder nur mit sehr komplexen Definitionen darstellbar sind.
die Wurzel einer nicht Quadratischen Zahl + die Wurzel einer anderen nicht Quadratischen Zahl müsste ja immer wieder eine Solche hervorbringen, also eine irrationale, somit bliebe die Möglichkeit der Transzendten Zahlen, also Pi, e, etc.
das müsste man aber wenn dann als Pi + (1-Pi)=1 schreiben, was aber die Summe 3 Zahlen wäre, fallen euch andere Möglichkeiten ein? Wenn ja, welche? Habt ihr Beweise?
7 Antworten
log 2 + log 5 = log 10 = 1.
... aber sicher kein purer Zufall, dass wir beide es gewählt haben. Immerhin ist der Beweis, dass log 2 irrational ist, viel einfacher als der von √2.
Übrigens finde ich im Nachhinein „log₆ 2 + log₆ 3 = 1“ noch schöner :-/
Neben den schon genanbren kannst du auch z.B.
0,101001000100001... + 0,010110111011110...
wählen. Beide Zahlen werden nie periodisch, sind also irrational, ihre Summe ist aber 0,1 Periode.
Deine Ergänzung zur Frage verstehe ich nicht.
pi bietet sich nicht so an - da musst du erstmal beweisen, dass pi irrational ist.
Diese Summe aus n irrationalen, positiven Zahlen ist rational:
10-Wurzel(2) und dann (n-1)-mal die Zahl Wurzel(2)/(n-1).
log(5)+log(2)=1
Links stehen irrationale Zahlen.
Pi + (1-Pi) = 1
das passt doch weil pi und die Zahl x=1-pi zwei irrationale Zhalen sind, deren Summe 1 ist.
Upps: Sehe erst jetzt, dass michiwien22 das schon genannt hat.