Vorab: Die Integralfunktion Jᵤ von f ist nichts anderes als die Stammfunktion von f mit Jᵤ(u)=0.
Du sollst nun zeigen, dass Jᵤ genau eine Nullstelle hat. Die Nullstelle x=u ist ja schon per Definition klar. Zu zeigen ist nur noch, dass es keine weiteren Nullstellen gibt. Dazu brauchst Du folgende Erkenntnisse:
- Jᵤ ist differenzierbar mit Jᵤ'=f
- f(x) ≠ 0 für alle x∊ℝ.
Nimm jetzt an, es gäbe eine weitere Nullstelle v≠u und wende den Mittelwertsatz an (⇒ Jᵤ'(ξ)=0 ⇒ Widerspruch). Das war's dann auch schon.
Anmerkung: Der Beweis klappt für jede auf ℝ stetige Funktion f, die keine Nullstelle hat, also auch für f(x)=eˣ, f(x)=0,001 oder f(x)=cos(x)-2. Die spezielle Wahl von f soll wohl nur verhindern, dass jemand Jᵤ explizit berechnet und auf Nullstellen untersucht.