SOS!?
Hallo, leider verstehe ich Sinn und Gehalt der markierten Abschätzung nicht und kann den Schritt von der 1. in die 2. Zeile nicht nachvollziehen. Warumist es zweckdienlich nun völlig andere Indizes zu wählen und womit ist gewährleistet, dass der grüne Ausdruck größer oder gleich dem vorherigen ist?
1 Antwort
In der ersten Zeile steht eine Summe mit 2ᵐ⁺¹−1 Summanden. Davon packst Du immer 2ⁱ Stück in einen Wert zusammen (also den ersten Summanden allein, dann die nächsten 2, dann 4, 8, ..., 2ᵐ).
Jedes dieser m+1 Päckchen wird durch seine Länge 2ⁱ mal seinen ersten (=größten) Summanden 1/2ⁱᵏ nach oben abgeschätzt. Das ergibt die Summe in der zweiten Zeile.
Ist die Länge der letzten Klammer in der oberen Zeile nicht (2^m)-1 statt 2^m
Von a nach b (einschließlich) sind es b−a+1 Summanden.
ob sich der Ausdruck [...] aus diesen Umformungen ergibt und dann nachträglich nach oben geschrieben wurde
Yepp. Dass die Partialsummen beschränkt sind, hilft ja nur, wenn die Schranke nicht von deren Länge abhängt und dabei womöglich über alle Grenzen wächst. Und statt einem vagen „feste obere Schranke“ haben sie das Kind gleich beim Namen genannt.
Σ [1/2^(k-1)]^i [...] lässt sich nicht zu 1/[1-2^(-k+1)] umformen
Doch. Das ist eine geometrische Reihe. Beachte den Unterschied zur untersuchten Reihe: laufender Exponent (qⁿ) vs. laufende Basis (1/nᵏ)
Ach stimmt. Die geometrische Reihe habe ich gar nicht erkannt. Hier wurde also nur die Summenformel für die geometrische Reihe 1/[1-q]angewandt. Die Herleitung wäre aber vermutlich etwas komplizierter. Ich schaue mir mal ein Beweis auf Youtube an.
Jedenfalls, vielen Dank. Sie haben mir wirklich sehr geholfen.
Danke, das macht bereits vieles klarer.
Zur Rekapitulation: Das heißt der Ausdruck 1/(2^i)^k greift sich der Reihe nach den ersten Summanden einer jeden Klammer heraus, sprich denjenigen mit dem geringsten Nenner also den größten und multipliziert ihn mit der jeweiligen Länge der Klammern. Statt der ersten Klammer stünde dann 2 mal 2^-k, statt der zweiten 4 mal 4^-k, in der dritten 8 mal 8^-k usw. wohingegen in den Klammern der ersten Zeile zwar die Anzahl der Klammerglieder gleich ist, aber der erste und größte Summand durch immer kleiner werdende ergänzt wird. So weit so gut.
Dann hätte ich nur noch drei Fragen.
Fange ich mal mit der an, die mir am dümmsten erscheint:
Ist die Länge der letzten Klammer in der oberen Zeile nicht (2^m)-1 statt 2^m, weil [2^(m+1) -1] - 2^m = 2^m × 2 -- 2^m -- 1 = 2^m (2-1) -1 = 2^m -1.
Meine zweite Frage lautet dahingehend, ob sich der Ausdruck, der im einleitenden Text als Schranke gewählt wurde. 1/[1-2^(-k +1)]aus diesen Umformungen ergibt und dann nachträglich nach oben geschrieben wurde "für die Schönheit des Beweises". Das würde für mich als Laien vieles erklären, da der Ausdruck natürlich so ohne weiteres ziemlich aus der Luft gegriffen wirkt. Wenn dieser Ausdruck erst durch die unteren Schritte ermittelt wird, erscheint der Beweis in meinen laienhaften Augen nicht ganz so wie unverständliche Magie, sondern eher strukturiert.
Drittens: In der dritten Zeile steht im Summenzeichen ja [1/2^(k-1)]^i
Jedoch lässt sich das doch nicht zu 1/[1-2^(-k+1)] umformen, oder?