Gradient und Strahl durch Ursprung?
Gegeben hat man eine Funktion f(x) = f(x1 , ... , xn) homogenen Grades d. Nun soll man die folgende Tatsache beweisen: An jedem Punkt eines gegebenen Strahls durch den Ursprung sind die Gradienten von f proportional.
Homogen von Grad d bedeutet ja folgendes:
f(x1(t), .... , xn(t)) = t^d * f(x1, ...., xn)
Wenn ich nun beide Seiten nach t ableite:
∇f(tx) ∗ x = d * t^(d-1) f(x1, ..., xn)
Wenn ich nun t=1 setze:
∇f(tx) ∗ x = d * f(x1, ..., xn)
Beweist das nun den Fakt oder fehlt da noch was?
Vielen Dank!
1 Antwort
Ich verstehe nicht warum du nach t ableitest. Für den Gradienten sind die partiellen Ableitungen nach den xi relevant. Ausgehend von
f(t*x1.. , t*xn) = t^d * f(x1, ...., xn)
ergibt sich der Gradient zu
∇f(t*x) = t^d * ∇f(x)
Die Gradienten an zwei durch t1 und t2 gegebenen Punkten auf dem Strahl unterscheiden sich also nur durch einen Faktor.