Kann mir jemand bei dieser Matheolympiade Aufgabe helfen.?
1 Antwort
Die Aufgabe a) war hilfreich, um zu erkennen worum es hier überhaupt geht ;-)
Also weiter mit b)
Es seien D, E und F die Berührungspunkte des Inkreises an AB, BC bzw. AC.
Winkel DAM = Winkel MAF.
Winkel MDA = Winkel AFM (= 90°).
Da die Dreiecke DMA und MFA die Strecke AM und auch den Inkreisradius r gemeinsam haben, sind sie kongruent.
Daraus folgt AF = AD. (Das kenne ich auch als Tangentensatz.)
Ebenso ist BE = BD.
Nun ist AF + ME = AF + r = AD + r = a.
(AF und ME sind parallel.)
Und es ist BE + MF = BE + r = BD + r = b.
Die Summe ist AD + BD + 2r = a + b.
Wegen AD + BD = c (Hypotenuse)
ist c + 2r = a + b.
Nun ist c gleichzeitig Durchmesser des Umkreises, also
2R + 2r = a + b
R + r = (a + b)/2, was zu beweisen war.
Das kann passieren. Aber wenn ich hier die Lösung von Matheolympiaden-Aufgaben vorführe, sollte der Fragesteller das dringend noch mal überprüfen. 😉
Erneut sehr elegant. Bin nicht sicher, ob du zwischenzeitlich a und b verwechselt hast (AF + ME = b, BD + r = a), hat aber keine Konsequenzen.