Zeigen Sie, dass A × B abzählbar ist?
Hallo,
kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?
Aufgabe:
Seien A und B nichtleere abzählbare Mengen. Zeigen Sie, dass A × B abzählbar ist.
2 Antworten
Grundidee: Die Menge Q ist abzählbar, da jede Zahl in Q als Bruch aus n und m aus N darstellbar ist. Damit weißt du schon mal, dass die Kombination zweier abzählbarer Mengen wiederum abzählbar ist. Es gibt eine bestimmte Vorschrift, mit der man zeigen kann, dass Q abzählbar ist. Eine ähnliche Vorschrift sollte man für das karthesische Produkt zweier beliebiger abzählbarer Mengen finden.
Ich würde dafür zwei Dinge zeigen:
- N x N ist abzählbar.
- Es gibt eine Bijektion zwischen A x B und N x N.
Der erste Punkt ist wahrscheinlich für dich schwieriger - als Tipp kannst du dir N x N als Raster im Koordinatensystem vorstellen und dir überlegen, wie du da durch wandern kannst und garantiert jeden Punkt mitnimmst.